V praksi je pogosto treba najti zakon porazdelitve vsote naključnih spremenljivk.

Naj bo sistem (X ь X 2) dva neprekinjena s. V. in njihova vsota

Poiščimo gostoto porazdelitve c. V. U. V skladu s splošno rešitvijo prejšnjega odstavka najdemo območje ravnine, kjer x+ x 2 (slika 9.4.1):

Če ta izraz diferenciramo glede na y, dobimo p.r. naključna spremenljivka Y = X + X 2:

Ker je funkcija φ (x b x 2) = Xj + x 2 simetrična glede na svoje argumente, potem

Če z. V. X in X 2 sta neodvisni, potem imata formuli (9.4.2) in (9.4.3) obliko:

V primeru, ko samostojni s. V. X x in X 2, govoriti o sestavi distribucijskih zakonov. Proizvajaj sestava dva zakona porazdelitve - to pomeni iskanje zakona porazdelitve vsote dveh neodvisnih s. c., razdeljen po teh zakonih. Za označevanje sestave distribucijskih zakonov se uporablja simbolni zapis

ki v bistvu označuje formule (9.4.4) ali (9.4.5).

Primer 1. Obravnavano je delovanje dveh tehničnih naprav (TD). Sprva TU deluje, po njeni okvari (odpovedi) se vključi v delovanje TU 2. Časi delovanja brez napak TU L TU 2 - X x in X 2 - so neodvisni in porazdeljeni po eksponentnih zakonih s parametri A,1 in X 2. Zato čas Y nemoteno delovanje tehnične naprave, sestavljene iz tehnične opreme! in TU 2, bo določena s formulo

Zahtevano je najti p.r. naključna spremenljivka Y, sestava dveh eksponentnih zakonov s parametri in X 2.

rešitev. Z uporabo formule (9.4.4) dobimo (y > 0)

Če obstaja sestava dveh eksponentnih zakonov z enakimi parametri (?ts = X 2 = Y), potem v izrazu (9.4.8) dobimo negotovost tipa 0/0, kar razkriva, da dobimo:

Če primerjamo ta izraz z izrazom (6.4.8), smo prepričani, da je sestava dveh enakih eksponentnih zakonov (?ts = X 2 = X) predstavlja Erlangov zakon drugega reda (9.4.9). Pri kombinaciji dveh eksponentnih zakonov z različnimi parametri X x in A-2 prejemajo posplošil Erlangov zakon drugega reda (9.4.8). ?

Problem 1. Zakon porazdelitve razlike dveh s. V. Sistem s. V. (X in X 2) ima skupno p.r./(x b x 2). Najdi p.r. njihove razlike Y= X - X 2.

rešitev. Za sistem z. V. (X b - X 2) itd. bo/(x b - x 2), razliko smo nadomestili z vsoto. Zato je p.r. naključna spremenljivka bo imela obliko (glej (9.4.2), (9.4.3)):

če z. V. X x iX 2 so neodvisni, torej

Primer 2. Poiščite p.r. razlika med dvema neodvisnima eksponentno porazdeljenima s. V. s parametri X x in X 2.

rešitev. Z uporabo formule (9.4.11) dobimo

riž. 9.4.2 riž. 9.4.3

Slika 9.4.2 prikazuje p.r. g(y). Če upoštevamo razliko dveh neodvisnih eksponentno porazdeljenih s. V. z enakimi parametri (A-i= X 2 = A,), to g(y) = /2 - že poznano

Laplaceov zakon (slika 9.4.3). ?

Primer 3. Poiščite porazdelitveni zakon vsote dveh neodvisnih s. V. X in X 2, porazdeljena po Poissonovem zakonu s parametri a x in a 2.

rešitev. Poiščimo verjetnost dogodka (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,

Zato je s. V. Y= X x + X 2 porazdeljena po Poissonovem zakonu s parametrom a x2) - a x + a 2. ?

Primer 4. Poiščite porazdelitveni zakon vsote dveh neodvisnih s. V. X x in X 2, porazdeljena po binomskih zakonih s parametri p x ri p 2, str oz.

rešitev. Predstavljajmo si s. V. X x kot:

Kje X 1) - indikator dogodka A Wujeva izkušnja:

Distribucijska serija c. V. X,- ima obliko

Podobno reprezentacijo bomo naredili za s. V. X 2: kjer je X] 2) - indikator dogodka A v y"-ti izkušnji:

torej

kje je X? 1)+(2) če je indikator dogodka A:

Tako smo pokazali, da s. V. Preizkusite količino (u + n 2) indikatorji dogodkov A, iz katerega izhaja, da je s. V. ^ porazdeljena po binomskem zakonu s parametri ( p x + p 2), r.

Upoštevajte, da če verjetnosti R so različni v različnih serijah poskusov, potem pa kot posledica dodatka dveh neodvisnih s. in., porazdeljeno po binomskih zakonih, se izkaže c. c., porazdeljena ne po binomskem zakonu. ?

Primera 3 in 4 zlahka posplošimo na poljubno število izrazov. Pri kombinaciji Poissonovih zakonov s parametri a b a 2, ..., a t spet dobimo Poissonov zakon s parametrom a (t) = a x + a 2 + ... + in t.

Pri sestavljanju binomskih zakonov s parametri (p p str); (i 2, R) , (p t, p) spet dobimo binomski zakon s parametri (“(“), R), Kje n (t) = n + n 2 + ... + p t.

Dokazali smo pomembne lastnosti Poissonovega zakona in binomskega zakona: »lastnost stabilnosti«. Distribucijski zakon se imenuje trajnostno,če iz sestave dveh istovrstnih zakonov nastane zakon iste vrste (razlikujejo se le parametri tega zakona). V pododdelku 9.7 bomo pokazali, da ima normalni zakon enako lastnost stabilnosti.

Uporabimo zgoraj opisano splošno metodo za rešitev enega problema, in sicer za iskanje zakona porazdelitve vsote dveh naključnih spremenljivk. Obstaja sistem dveh naključnih spremenljivk (X,Y) z gostoto porazdelitve f(x,y). Upoštevajmo vsoto naključnih spremenljivk X in Y: in poiščimo zakon porazdelitve vrednosti Z. Da bi to naredili, bomo zgradili premico na ravnini xOy, katere enačba je (slika 7). To je ravna črta, ki na oseh reže segmente, enake z. Premica deli ravnino xOy na dva dela; desno in nad njim; levo in spodaj.

Območje D je v tem primeru spodnji levi del ravnine xOy, osenčeno na sl. 7. Po formuli (16) imamo:

Če ta izraz diferenciramo glede na spremenljivko z, vključeno v zgornjo mejo notranjega integrala, dobimo:

To je splošna formula za gostoto porazdelitve vsote dveh naključnih spremenljivk.

Zaradi simetrije problema glede na X in Y lahko zapišemo drugo različico iste formule:

ki je enakovreden prvemu in ga je mogoče uporabiti namesto njega.

Primer sestave normalnih zakonov. Oglejmo si dve neodvisni naključni spremenljivki X in Y, podvrženi običajnim zakonom:

Potrebno je izdelati sestavo teh zakonov, to je najti zakon porazdelitve količine: .

Uporabimo splošno formulo za sestavo distribucijskih zakonov:

Če odpremo oklepaje v eksponentu integranda in prinesemo podobne člene, dobimo:

Zamenjava teh izrazov v formulo, s katero smo se že srečali

po transformacijah dobimo:

in to ni nič drugega kot normalen zakon s središčem disperzije

in standardni odklon

Do istega sklepa je veliko lažje priti z uporabo naslednjega kvalitativnega sklepanja.

Brez odpiranja oklepajev in brez transformacij v integrandu (17) takoj pridemo do zaključka, da je eksponent kvadratni trinom glede na x oblike

kjer vrednost z sploh ni vključena v koeficient A, v koeficient B je vključena na prvo potenco, v koeficient C pa je na kvadrat. Ob upoštevanju tega in uporabi formule (18) pridemo do zaključka, da je g(z) eksponentna funkcija, katere eksponent je kvadratni trinom glede na z in gostoto porazdelitve; Ta vrsta ustreza običajnemu zakonu. Tako, mi; pridemo do povsem kvalitativnega zaključka: zakon porazdelitve vrednosti z mora biti normalen. Za iskanje parametrov tega zakona - in - bomo uporabili izrek seštevanja matematičnih pričakovanj in izrek seštevanja varianc. Po izreku seštevanja matematičnih pričakovanj. Po izreku seštevanja varianc ali iz katerega sledi formula (20).

Če preidemo od standardnih odklonov k njim sorazmernim verjetnim odklonom, dobimo: .

Tako smo prišli do naslednjega pravila: pri kombiniranju normalnih zakonov ponovno dobimo normalni zakon, matematična pričakovanja in variance (oz. kvadrate verjetnih odstopanj) pa seštejemo.

Pravilo za sestavo normalnih zakonov lahko posplošimo na primer poljubnega števila neodvisnih naključnih spremenljivk.

Če obstaja n neodvisnih naključnih spremenljivk: za katere veljajo običajni zakoni s središči disperzije in standardnimi odkloni, potem za vrednost prav tako velja normalni zakon s parametri

Namesto formule (22) lahko uporabite enakovredno formulo:

Če je sistem naključnih spremenljivk (X, Y) porazdeljen po običajnem zakonu, vendar so vrednosti X, Y odvisne, potem ni težko dokazati, tako kot prej, na podlagi splošne formule (6.3. 1), da je tudi zakon porazdelitve vrednosti normalen zakon. Razpršilna središča se še vedno dodajajo algebraično, vendar za standardne odklone pravilo postane bolj zapleteno: , kjer je r korelacijski koeficient vrednosti X in Y.

Pri seštevanju več odvisnih naključnih spremenljivk, za katere v celoti velja normalni zakon, se izkaže za normalnega tudi porazdelitveni zakon vsote s parametri

ali v verjetnih odstopanjih

kjer je korelacijski koeficient količin X i, X j, seštevek pa velja za vse različne parne kombinacije količin.

Prepričali smo se o zelo pomembni lastnosti normalnega zakona: s sestavo normalnih zakonov ponovno dobimo normalni zakon. To je tako imenovana "lastnost stabilnosti". Zakon porazdelitve se imenuje stabilen, če sestava dveh zakonov te vrste ponovno povzroči zakon iste vrste. Zgoraj smo pokazali, da je normalni zakon stabilen. Zelo malo distribucijskih zakonov ima lastnost stabilnosti. Zakon enakomerne gostote je nestabilen: s kombinacijo dveh zakonov enakomerne gostote v odsekih od 0 do 1 smo dobili Simpsonov zakon.

Stabilnost normalnega zakona je eden od bistvenih pogojev za njegovo široko uporabo v praksi. Vendar pa imajo lastnost stabilnosti poleg normalnega tudi nekateri drugi distribucijski zakoni. Značilnost normalnega zakona je, da ko je sestavljeno dovolj veliko število praktično poljubnih distribucijskih zakonov, se izkaže, da je skupni zakon čim bližje normali, kot je želeno, ne glede na to, kakšni so bili distribucijski zakoni členov. To lahko na primer ponazorimo s sestavljanjem treh zakonov enakomerne gostote v območjih od 0 do 1. Dobljeni porazdelitveni zakon g(z) je prikazan na sl. 8. Kot je razvidno iz risbe, je graf funkcije g(z) zelo podoben grafu normalnega zakona.

TEMA 3
	koncept distribucijske funkcije
	matematično pričakovanje in varianco
	enakomerna (pravokotna) porazdelitev
	normalna (Gaussova) porazdelitev
	Distribucija
	t- Razporeditev študentov
	F- distribucija
	porazdelitev vsote dveh naključnih neodvisnih spremenljivk
	primer: porazdelitev vsote dveh neodvisnih enakomerno porazdeljene količine
	transformacija naključne spremenljivke
	primer: harmonična porazdelitev z naključno fazo
	centralni mejni izrek
	momenti naključne spremenljivke in njihove lastnosti
NAMEN CIKLA PREDAVANJA:		NAVEDITE ZAČETNE INFORMACIJE O POMEMBNIH FUNKCIJAH DISTRIBUCIJ IN NJIHOVIH LASTNOSTIH

RAZDELITEVNE FUNKCIJE

Pustiti x(k)- neka naključna spremenljivka. Potem je za katero koli fiksno vrednost x naključni dogodek x(k) x je definiran kot niz vseh možnih rezultatov k tako da x(k) x. V smislu začetne verjetnostne mere, podane na vzorčnem prostoru, distribucijska funkcijaP(x) je definirana kot verjetnost, dodeljena nizu točk k x(k) x. Upoštevajte, da niz točk k, ki izpolnjuje neenakost x(k) x, je podmnožica množice točk, ki izpolnjujejo neenakost x(k) . Formalno

To je očitno

Če je obseg vrednosti naključne spremenljivke zvezen, kot je predpostavljeno spodaj, potem gostota verjetnosti(enodimenzionalno) p(x) določen z diferencialno relacijo

(4)

torej

(6)

Da bi lahko obravnavali diskretne primere, je treba predpostaviti prisotnost delta funkcij v gostoti verjetnosti.

PRIČAKOVANA VREDNOST

Naj naključna spremenljivka x(k) zavzema vrednosti iz območja od -  do + . Povprečna vrednost(sicer, pričakovana vrednost oz pričakovana vrednost) x(k) se izračuna z uporabo ustreznega mejnega prehoda v vsoti produktov vrednosti x(k) o verjetnosti, da se ti dogodki zgodijo:

(8)

Kje E- matematično pričakovanje izraza v oglatem oklepaju z indeksom k. Podobno se določi matematično pričakovanje realne zvezne funkcije z eno vrednostjo g(x) iz naključne spremenljivke x(k)

(9)

Kje p(x)- gostota verjetnosti naključne spremenljivke x(k). Zlasti jemanje g(x)=x, dobimo srednji kvadrat x(k) :

(10)

Razpršenostx(k) definirana kot srednji kvadrat razlike x(k) in njegova povprečna vrednost,

torej v tem primeru g(x)= in

A-priory, standardni odklon naključna spremenljivka x(k), označeno , je pozitivni kvadratni koren variance. Standardni odklon se meri v istih enotah kot povprečje.

POMEMBNE DISTRIBUCIJSKE FUNKCIJE

ENAKOMERNA (PRAVOKOTNA) RAZDELITEV.

Predpostavimo, da poskus obsega naključno izbiro točke iz intervala [ a,b], vključno s končnimi točkami. V tem primeru kot vrednost naključne spremenljivke x(k) lahko vzamete številčno vrednost izbrane točke. Ustrezna distribucijska funkcija ima obliko

Zato je gostota verjetnosti podana s formulo

V tem primeru izračun srednje vrednosti in variance z uporabo formul (9) in (11) da

NORMALNA (GAUSSOVA) RAZDELITEV

, - aritmetična sredina, - standardni odklon.

Vrednost z, ki ustreza verjetnosti P(z)=1-, tj.

CHI - KVADRATNA RAZDELITEV

Pustiti - n neodvisnih naključnih spremenljivk, od katerih ima vsaka normalno porazdelitev z nič povprečjem in enotsko varianco.

Hi-kvadrat je naključna spremenljivka z n prostostnimi stopnjami.

gostota verjetnosti.

DF: 100 - odstotne točke - porazdelitve so označene, tj.

povprečje in varianca sta enaki

t - RAZDELITEV ŠTUDENTOV

y, z - neodvisne naključne spremenljivke; y – ima – porazdelitev, z – je normalno porazdeljen z nič povprečjem in enotsko varianco.

velikost - ima t- Porazdelitev učencev z n prostostnimi stopnjami

DF: 100 - odstotna točka t - porazdelitve je navedena

Srednja vrednost in varianca sta enaki

F - DISTRIBUCIJA

Neodvisne naključne spremenljivke; ima - porazdelitev s prostostnimi stopnjami; porazdelitev s prostostnimi stopnjami. Naključna vrednost:

,

F je porazdeljena naključna spremenljivka s prostostnimi stopnjami in .

,

DF: 100 - odstotna točka:

Povprečna vrednost in varianca sta enaki:

RAZDELITEV ZNESKA

DVE NAKLJUČNI SPREMENLJIVKI

Pustiti x(k) in y(k)– naključne spremenljivke, ki imajo skupno gostoto verjetnosti p(x,y). Poiščimo gostoto verjetnosti vsote naključnih spremenljivk

Pri fiksnem x imamo y= z– x. Zato

Pri fiksnem z vrednote x zaženite interval od – do +. Zato

(37)

iz katerega je jasno, da morate za izračun zahtevane gostote vsote poznati prvotno skupno gostoto verjetnosti. če x(k) in y(k) so neodvisne naključne spremenljivke z gostotami in v skladu s tem in

(38)

PRIMER: VSETA DVEH NEODVISNIH, ENAKOMERNO RAZDELJENIH NAKLJUČNIH SPREMENLJIVK.

Naj imata dve naključni neodvisni spremenljivki gostoto oblike

V drugih primerih Poiščimo gostoto verjetnosti p(z) njihove vsote z= x+ y.

Gostota verjetnosti Za tj za torej x ne presega z. Poleg tega ni enako nič za Po formuli (38) ugotovimo, da

Ilustracija:

Gostota verjetnosti vsote dveh neodvisnih, enakomerno porazdeljenih naključnih spremenljivk.

NAKLJUČNA PRETVORBA

VREDNOTE

Pustiti x(t)- naključna spremenljivka z gostoto verjetnosti p(x), naj gre g(x)- enovrednostna realna zvezna funkcija x. Najprej razmislimo o primeru, ko je inverzna funkcija x(g) je tudi zvezna funkcija z eno vrednostjo g. Gostota verjetnosti p(g), ki ustreza naključni spremenljivki g(x(k)) = g(k), lahko določimo z gostoto verjetnosti p(x) naključna spremenljivka x(k) in izpeljanka dg/dx ob predpostavki, da izpeljanka obstaja in je različna od nič, in sicer:

(12)

Zato je v meji pri dg/dx#0

(13)

Z uporabo te formule sledi na desni strani namesto spremenljivke x nadomestite ustrezno vrednost g.

Oglejmo si zdaj primer, ko je inverzna funkcija x(g) velja n-vrednotena funkcija g, Kje n- celo število in vse n vrednosti so enako verjetne. Potem

(14)

PRIMER:

RAZDELITEV HARMONIČNE FUNKCIJE.

Harmonična funkcija s fiksno amplitudo X in pogostost f bo naključna spremenljivka, če bo njen začetni fazni kot  =  (k)- naključna vrednost. Zlasti naj t fiksen in enak t o, in naj ima harmonična naključna spremenljivka obliko

Pretvarjajmo se, da  (k) ima enakomerno gostoto verjetnosti p( ) vrsta

Poiščimo gostoto verjetnosti p(x) naključna spremenljivka x(k).

V tem primeru neposredna funkcija x( ) enolično in obratno funkcijo  (x) dvomestno

Opredelitev. Naključne spremenljivke X 1, X 2, ..., X n imenujemo neodvisne, če so dogodki za katerikoli x 1, x 2, ..., x n neodvisni

(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.

Iz definicije takoj sledi, da za neodvisne naključne spremenljivke X 1, X 2, …, Xn distribucijska funkcija n-dimenzionalna naključna spremenljivka X = X 1, X 2, …, Xn enak produktu porazdelitvenih funkcij naključnih spremenljivk X 1, X 2, …, Xn

F(x 1 , x 2, …, x n) = F(x 1)F(x 2)…F(x n). (1)

Razlikujmo enakost (1) n krat x 1 , x 2, …, x n, dobimo

str(x 1 , x 2, …, x n) = str(x 1)str(x 2)…str(x n). (2)

Lahko podamo še eno definicijo neodvisnosti naključnih spremenljivk.

Če zakon porazdelitve ene naključne spremenljivke ni odvisen od možnih vrednosti, ki so jih sprejele druge naključne spremenljivke, se takšne naključne spremenljivke imenujejo kolektivno neodvisne.

Na primer, dva sta bila kupljena srečke različna vprašanja. Pustiti X– znesek dobitka na prvem listku, Y– znesek dobitka na drugem listku. Naključne spremenljivke X in Y– neodvisen, saj dobitek ene karte ne bo vplival na zakon distribucije druge. Če pa so vstopnice iste izdaje, potem X in Y– odvisen.

Dve naključni spremenljivki se imenujeta neodvisni, če se distribucijski zakon ene od njiju ne spremeni glede na možne vrednosti, ki jih sprejme druga spremenljivka.

1. izrek(konvolucija) ali "izrek o gostoti vsote 2 naključnih spremenljivk."

Pustiti X = (X 1;X 2) – neodvisna zvezna dvodimenzionalna naključna spremenljivka, Y = X 1+ X 2. Nato gostota porazdelitve

Dokaz. Lahko se pokaže, da če , potem

Kje X = (X 1 , X 2 , …, Xn). Potem, če X = (X 1 , X 2), nato distribucijska funkcija Y = X 1 + X 2 lahko definiramo na naslednji način (slika 1) –

V skladu z definicijo je funkcija gostota porazdelitve naključne spremenljivke Y = X 1 + X 2, tj.

p y (t) = kar je bilo treba dokazati.

Izpeljimo formulo za iskanje verjetnostne porazdelitve vsote dveh neodvisnih diskretnih naključnih spremenljivk.

Izrek 2. Pustiti X 1 , X 2 – neodvisne diskretne naključne spremenljivke,

Dokaz. Predstavljajmo si dogodek A x = {X 1 +X 2 = x) kot vsota nekompatibilnih dogodkov

A x = å( X 1 = x jaz ; X 2 = x– x jaz).

Ker X 1 , X 2 – samostojno torej p(X 1 = x jaz ; X 2 = x– x i) = p(X 1 = x jaz) p(X 2 = x – x i), potem

p(A x) = p(å( X 1 = x jaz ; X 2 = x – xi)) = å( p(X 1 = x i) p(X 2 = x – x jaz)),

Q.E.D.

Primer 1. Pustiti X 1 , X 2 – neodvisne naključne spremenljivke z normalno porazdelitvijo s parametri n(0;1); X 1 , X 2 ~ n(0;1).

Poiščimo porazdelitveno gostoto njihove vsote (označujemo X 1 = x, Y = X 1 +X 2)

Preprosto je videti, da je funkcija integranda gostota porazdelitve normalne naključne spremenljivke s parametri A= , , tj. integral je enak 1.

funkcija p y(t) normalna gostota porazdelitve s parametri a = 0, s = . Tako ima vsota neodvisnih normalnih naključnih spremenljivk s parametri (0,1) normalno porazdelitev s parametri (0,), tj. Y = X 1 + X 2 ~ n(0;).

Primer 2. Naj sta torej podani dve diskretni neodvisni naključni spremenljivki s Poissonovo porazdelitvijo

Kje k, m, n = 0, 1, 2, …,¥.

Po izreku 2 imamo:

Primer 3. Pustiti X 1, X 2 – neodvisne naključne spremenljivke z eksponentno porazdelitvijo. Poiščimo gostoto Y= X 1 +X 2 .

Označimo x = x 1. Ker X 1, X 2 sta neodvisni naključni spremenljivki, potem bomo uporabili "konvolucijski izrek"

Lahko se pokaže, da če je dana vsota ( X i imajo eksponentno porazdelitev s parametrom l), potem Y=ima distribucijo, imenovano Erlangova distribucija ( n– 1) naročilo. Ta zakon je bil pridobljen z modeliranjem delovanja telefonskih central v prvih delih teorije čakalne vrste.

V matematični statistiki se pogosto uporabljajo zakoni porazdelitve naključnih spremenljivk, ki so funkcije neodvisnih normalnih naključnih spremenljivk. Oglejmo si tri zakone, s katerimi se najpogosteje srečujemo pri modeliranju naključnih pojavov.

Izrek 3.Če so naključne spremenljivke neodvisne X 1, ..., Xn, potem so tudi funkcije teh naključnih spremenljivk neodvisne Y 1 = f 1 (X 1), ...,Yn = fn(Xn).

Pearsonova porazdelitev(od 2 -distribucija). Pustiti X 1, ..., Xn– neodvisne normalne naključne spremenljivke s parametri A= 0, s = 1. Ustvarimo naključno spremenljivko

torej

Lahko se pokaže, da ima gostota za x > 0 obliko , kjer je k n določen koeficient za izpolnitev pogoja. Pri n ® ¥ se Pearsonova porazdelitev nagiba k normalni porazdelitvi.

Naj bo X 1, X 2, …, Xn ~ N(a,s), nato pa naključne spremenljivke ~ N(0,1). Zato ima naključna spremenljivka c 2 porazdelitev z n prostostnimi stopnjami.

Pearsonova porazdelitev je tabelirana in uporabljena v različnih aplikacijah matematične statistike (na primer pri testiranju hipoteze o konsistentnosti zakona porazdelitve).

Odločevalec lahko uporabi zavarovanje za zmanjšanje negativnih finančnih učinkov določenih vrst naključnih dogodkov.

Toda ta premislek je zelo splošen, saj lahko tisti, ki sprejema odločitve, pomeni posameznika, ki išče zaščito pred škodo na lastnini, prihrankih ali dohodku, ali organizacijo, ki išče zaščito pred isto vrsto škode.

Dejansko se lahko takšna organizacija izkaže za Zavarovalnica, ki išče načine, kako se zaščititi pred finančno izgubo zaradi prevelikega števila zavarovalnih škod, ki nastanejo pri posamezni stranki ali njenem zavarovalnem portfelju. Ta vrsta zaščite se imenuje pozavarovanje.

Oglejmo si enega od dveh modelov (in sicer individualni model tveganja), ki se pogosto uporablja pri določanju zavarovalnih stopenj in rezervacij ter pri pozavarovanju.

Označimo z S znesek naključnih izgub zavarovalnice za del njenih tveganj. V tem primeru S je naključna spremenljivka, za katero moramo določiti porazdelitev verjetnosti. Zgodovinsko gledano je za distribucijo r.v. S obstajala sta dva sklopa postulatov. Individualni model tveganja določa S na naslednji način:

kjer je r.v. pomeni škodo, ki jo povzroči predmet zavarovanja s št jaz, A n označuje skupno število predmetov zavarovanja.

Običajno se predpostavlja, da gre za neodvisne naključne spremenljivke, saj so v tem primeru matematični izračuni preprostejši in informacije o naravi razmerja med njimi niso potrebne. Drugi model je model kolektivnega tveganja.

Obravnavani individualni model tveganja ne odraža sprememb vrednosti denarja skozi čas. To je narejeno zaradi poenostavitve modela, zato se naslov članka nanaša na kratek časovni interval.

Upoštevali bomo samo zaprte modele, tj. tiste, pri katerih je število predmetov zavarovanja n v formuli (1.1) je znan in fiksiran na samem začetku obravnavanega časovnega intervala. Če uvedemo predpostavke o prisotnosti migracij iz ali v zavarovalni sistem, dobimo odprt model.

Naključne spremenljivke, ki opisujejo posamezna plačila

Najprej spomnimo na osnovna določila življenjskega zavarovanja.

Pri zavarovanju za primer smrti za dobo enega leta se zavarovalnica zaveže plačati znesek b, če zavarovalec umre v enem letu od dneva sklenitve zavarovalne pogodbe, in ne plača ničesar, če zavarovalec to leto doživi.

Verjetnost, da se zavarovalni dogodek zgodi v določenem letu, je označena z .

Opis naključne spremenljivke plačila zavarovanja, ima porazdelitev, ki jo je mogoče določiti z verjetnostno funkcijo

(2.1)

ali ustrezna distribucijska funkcija

(2.2)

Iz formule (2.1) in iz definicije momentov dobimo

(2.4)

Te formule lahko dobimo tudi s pisanjem X kot

kjer je konstantna vrednost, plačana v primeru smrti, in je naključna spremenljivka, ki ima vrednost 1 ob smrti in 0 drugače.

Tako in , ter povprečje in varianco r.v. sta enaki in oziroma, srednja vrednost in varianca r.v. sta enaki in , kar sovpada z zgoraj napisanimi formulami.

Naključna spremenljivka z razponom vrednosti (0,1) se pogosto uporablja v aktuarskih modelih.

V učbenikih teorije verjetnosti se imenuje indikator, Bernoulli naključno velikost oz binomska naključna spremenljivka v enem poskusnem dizajnu.

Poklicali jo bomo indikator zaradi kratkosti in tudi zato, ker nakazuje na pojav ali ne nastanek zadevnega dogodka.

Preidimo k iskanju bolj splošnih modelov, v katerih je tudi vrednost zavarovalnine naključna spremenljivka in se lahko v obravnavanem časovnem intervalu zgodi več zavarovalnih dogodkov.

Zdravstveno zavarovanje, avtomobilsko in drugo premoženjsko zavarovanje ter zavarovanje odgovornosti so takoj številni primeri. Splošno formulo (2.5) postavimo

kjer je naključna spremenljivka, ki opisuje izplačila zavarovanja v obravnavanem časovnem intervalu, r.v. označuje skupni znesek plačil v tem intervalu in r.v. je indikator za dogodek, da se je zgodil vsaj en zavarovalni primer.

Kot pokazatelj takega dogajanja je r.v. beleži prisotnost () ali pomanjkanje () zavarovalnih dogodkov v tem časovnem intervalu, ne pa števila zavarovalnih primerov v njem.

Verjetnost bo še vedno označena z .

Oglejmo si nekaj primerov in določimo porazdelitev naključnih spremenljivk v določenem modelu.

Oglejmo si najprej zavarovanje smrti za dobo enega leta z dodatno ugodnostjo, če smrt nastopi kot posledica nezgode.

Zagotovo predpostavimo, da bo znesek plačila, če je smrt nastala zaradi nesreče, znašal 50.000, če je smrt nastala zaradi drugih vzrokov, pa bo znesek plačila 25.000.

Recimo, da je za osebo določene starosti, zdravstvenega stanja in poklica verjetnost smrti zaradi nesreče med letom 0,0005, verjetnost smrti zaradi drugih vzrokov pa 0,0020. V obliki formule je videti takole:

Če seštejemo vse možne vrednosti, dobimo

,

Pogojna porazdelitev c. V. pod pogojem, da ima obliko

Oglejmo si zdaj zavarovanje proti trku (odškodnina, plačana lastniku avtomobila za škodo na njegovem avtomobilu) z brezpogojno franšizo 250 in najvišjim izplačilom 2000.

Zaradi jasnosti predpostavimo, da je verjetnost enega zavarovalnega dogodka v obravnavanem časovnem obdobju za posameznika 0,15, verjetnost več kot enega trčenja pa nič:

, .

Nerealna predpostavka, da se v enem obdobju ne sme zgoditi več kot en zavarovalni dogodek, je podana zaradi poenostavitve razdelitve r.v. .

To predpostavko opustimo v naslednjem razdelku, ko pogledamo porazdelitev več terjatev.

Ker je to znesek plačil zavarovalnice in ne škoda, povzročena na avtomobilu, lahko upoštevamo dve značilnosti in .

Prvič, dogodek vključuje tiste trke, pri katerih je škoda manjša od brezpogojne franšize, ki znaša 250.

Drugič, porazdelitev r.v. bo imel na točki maksimalnega zneska zavarovalnine "šop" verjetnostne mase, ki je enak 2000.

Predpostavimo, da je verjetnostna masa, koncentrirana na tej točki, 0,1. Nadalje predpostavimo, da je vrednost zavarovalnih plačil v območju od 0 do 2000 mogoče modelirati z zvezno porazdelitvijo s funkcijo gostote, ki je sorazmerna (V praksi je zvezna krivulja, ki je izbrana za prikaz porazdelitve zavarovalnih prejemkov, rezultat študij ravni prejemkov v prejšnjem obdobju.)

Če povzamemo te predpostavke o pogojni porazdelitvi r.v. pod pogojem, pridemo do porazdelitve mešanega tipa, ki ima pozitivno gostoto v območju od 0 do 2000 in nekaj "grude" verjetnostne mase na točki 2000. To ponazarja graf na sl. 2.2.1.

Porazdelitvena funkcija te pogojne porazdelitve izgleda takole:

Slika 2.1. Porazdelitvena funkcija r.v. V stanju I = 1

Izračunajmo matematično pričakovanje in varianco v obravnavanem primeru z avtomobilsko zavarovanje dva načina.

Najprej izpišemo porazdelitev r.v. in ga uporabite za izračun in. Označimo s porazdelitveno funkcijo r.v. , imamo

Za x<0

To je mešana distribucija. Kot je prikazano na sl. 2.2 ima tako diskretni ("gruča" verjetnostne mase v točki 2000) kot zvezni del. Takšna porazdelitvena funkcija ustreza kombinaciji verjetnostne funkcije

riž. 2.2. Porazdelitvena funkcija r.v. X = IB

in funkcije gostote

Zlasti in . Zato .

Obstaja več formul, ki povezujejo trenutke naključnih spremenljivk s pogojnimi matematičnimi pričakovanji. Za matematično pričakovanje in za varianco imajo te formule obliko

(2.10)

(2.11)

Razume se, da so izrazi na levi strani teh enačb izračunani neposredno iz r.v. . Pri izračunu izrazov na desni strani, in sicer, se uporablja pogojna porazdelitev r.v. pri fiksni vrednosti r.v. .

Ti izrazi so torej funkcije r.v. , njihove momente pa lahko izračunamo z uporabo r.v. .

Pogojne porazdelitve se uporabljajo v številnih aktuarskih modelih, kar omogoča neposredno uporabo zgornjih formul. V našem modelu. Upoštevajoč r.v. v kakovosti in r.v. kot , dobimo

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

in upoštevajte pogojna matematična pričakovanja

(2.16)

(2.17)

Formuli (2.16) in (2.17) sta definirani kot funkcija r.v. , ki se lahko zapiše kot naslednja formula:

Od takrat naprej (2.21)

Kajti imamo in (2.22)

Formuli (2.21) in (2.22) lahko kombiniramo: (2.23)

Tako je (2.24)

Če nadomestimo (2.21), (2.20) in (2.24) v (2.12) in (2.13), dobimo

Dobljene formule uporabimo za izračun na primeru avtomobilskega zavarovanja (slika 2.2). Ker je funkcija gostote r.v. Podani pogoj je izražen s formulo

in P(B=2000|I=1)= 0,1, imamo

Končno, verjeti q= 0,15, iz formul (2.25) in (2.26) dobimo naslednje enakosti:

Za opis drugačne zavarovalne situacije lahko predlagamo druge modele za r.v. .

Primer: Model za število smrti zaradi letalskih nesreč

Kot primer razmislite o modelu števila smrtnih žrtev zaradi letalskih nesreč v enoletnem obdobju delovanja letalske družbe.

Začnemo lahko z naključno spremenljivko, ki opisuje število smrti za en let, nato pa te naključne spremenljivke seštejemo za vse lete v letu.

Za en let bo dogodek nakazal nastanek letalske nesreče. Število smrtnih žrtev, ki jih je povzročila ta nesreča, bo predstavljeno z zmnožkom dveh naključnih spremenljivk in , kjer je faktor obremenitve letala, tj. število oseb na krovu v času nesreče, in je delež smrti med tistimi na krovu.

Število umrlih je prikazano na ta način, saj je ločena statistika za količine in je bolj dostopna kot statistika za r.v. . Čeprav sta delež smrtnih žrtev med osebami na krovu in številom oseb na krovu verjetno povezana, se lahko kot prvi približek domneva, da je r.v. in neodvisen.

Vsote neodvisnih naključnih spremenljivk

V individualnem modelu tveganja so zavarovalna plačila, ki jih opravi zavarovalnica, predstavljena kot vsota plačil številnim posameznikom.

Spomnimo se dveh metod za določitev porazdelitve vsote neodvisnih naključnih spremenljivk. Najprej razmislimo o vsoti dveh naključnih spremenljivk, katerih vzorčni prostor je prikazan na sl. 3.1.

riž. 2.3.1. Dogodek

Ravna črta in površina pod ravno črto predstavljata dogodek. Zato je funkcija porazdelitve r.v S ima obliko (3.1)

Za dve diskretni nenegativni naključni spremenljivki lahko uporabimo formulo celotne verjetnosti in zapišemo (3.1) v obliki

če X in Y neodvisno, lahko zadnjo vsoto prepišemo kot

(3.3)

Funkcijo verjetnosti, ki ustreza tej funkciji porazdelitve, je mogoče najti s formulo

(3.4)

Za zvezne nenegativne naključne spremenljivke imajo formule, ki ustrezajo formulam (3.2), (3.3) in (3.4), obliko

Ko ena ali obe naključni spremenljivki X in Y imajo mešano porazdelitev (kar je značilno za posamezne modele tveganja), so formule podobne, a bolj okorne. Za naključne spremenljivke, ki imajo lahko tudi negativne vrednosti, so vsote in integrali v zgornjih formulah prevzeti za vse vrednosti y od do .

V teoriji verjetnosti se operaciji v formulah (3.3) in (3.6) reče konvolucija dveh porazdelitvenih funkcij in je označena z . Konvolucijsko operacijo lahko definiramo tudi za par verjetnostnih funkcij ali gostotnih funkcij z uporabo enačb (3.4) in (3.7).

Za določitev porazdelitve vsote več kot dveh naključnih spremenljivk lahko uporabimo iteracije procesa konvolucije. Za , kjer so neodvisne naključne spremenljivke, označuje porazdelitveno funkcijo r.v. in je porazdelitvena funkcija r.v. , bomo dobili

Primer 3.1 ponazarja ta postopek za tri diskretne naključne spremenljivke.

Primer 3.1. Naključne spremenljivke , , in so neodvisne in imajo porazdelitve, ki jih določajo stolpci (1), (2) in (3) spodnje tabele.

Zapišimo verjetnostno funkcijo in funkcijo porazdelitve r.v.

rešitev. Tabela uporablja zapis, uveden pred primerom:

Stolpci (1)-(3) vsebujejo razpoložljive informacije.

Stolpec (4) je izpeljan iz stolpcev (1) in (2) z uporabo (3.4).

Stolpec (5) je izpeljan iz stolpcev (3) in (4) z uporabo (3.4).

Z definicijo stolpca (5) se zaključi določitev verjetnostne funkcije za r.v. . Njegova porazdelitvena funkcija v stolpcu (8) je množica delnih vsot stolpca (5), začenši z vrha.

Zaradi jasnosti smo vključili stolpec (6), distribucijsko funkcijo za stolpec (1), stolpec (7), ki ga je mogoče pridobiti neposredno iz stolpcev (1) in (6) z uporabo (2.3.3), in stolpec (8 ), opredeljeno podobno za stolpca (3) in (7). Stolpec (5) je mogoče določiti iz stolpca (8) z zaporednim odštevanjem.

Nadaljujmo z obravnavanjem dveh primerov z zveznimi naključnimi spremenljivkami.

Primer 3.2. Naj se r.v. ima enakomerno porazdelitev na intervalu (0,2) in naj bo r.v. ni odvisen od r.v. in ima enakomerno porazdelitev v intervalu (0,3). Določimo porazdelitveno funkcijo r.v.

rešitev. Ker so porazdelitve r.v. in zvezno uporabimo formulo (3.6):

Potem

Vzorčni prostor r.v. in je prikazano na sl. 3.2. Pravokotno območje vsebuje vse možne vrednosti para in . Dogodek, ki nas zanima, je na sliki prikazan za pet vrednosti s.

Za vsako vrednost premica seka os Y na točki s in ravna črta v točki. Vrednosti funkcij za teh pet primerov so opisane z naslednjo formulo:

riž. 3.2. Konvolucija dveh enakomernih porazdelitev

Primer 3.3. Oglejmo si tri neodvisne r.v. . Za r.v. ima eksponentno porazdelitev in . Poiščimo funkcijo gostote r.v. , z uporabo operacije konvolucije.

rešitev. Imamo

S trikratno uporabo formule (3.7) dobimo

Druga metoda za določanje porazdelitve vsote neodvisnih slučajnih spremenljivk temelji na edinstvenosti generativne funkcije momentov, ki za r.v. je določena z razmerjem .

Če je to matematično pričakovanje končno za vse t iz nekega odprtega intervala, ki vsebuje izvor, potem je edina generativna funkcija momentov porazdelitve r.v. v smislu, da ne obstaja nobena druga funkcija kot , ki bi bila tvorna funkcija momentov porazdelitve r.v. .

To edinstvenost lahko uporabimo na naslednji način: za vsoto

Če je neodvisno, je matematično pričakovanje produkta v formuli (3.8) enako ..., torej

Iskanje eksplicitnega izraza za edino porazdelitev, ki ustreza funkciji generiranja momenta (3.9), bi dopolnilo ugotovitev porazdelitve r.v. . Če ga ni mogoče eksplicitno navesti, ga lahko poiščete z numeričnimi metodami.

Primer 3.4. Oglejmo si naključne spremenljivke iz primera 3.3. Določimo funkcijo gostote r.v. , z uporabo generacijske funkcije momentov r.v. .

rešitev. Glede na enakost (3.9) ki jih lahko zapišemo v obliki z uporabo metode razgradnje na enostavne ulomke. Rešitev je . Toda ali je tvorna funkcija momentov eksponentne porazdelitve s parametrom, torej gostotna funkcija r.v. izgleda kot

Primer 3.5. Pri preučevanju naključnih procesov je bila uvedena inverzna Gaussova porazdelitev. Uporablja se kot distribucija r.v. IN, znesek zavarovalnih plačil. Funkcija gostote in generatorska funkcija momentov inverzne Gaussove porazdelitve sta podani s formulama

Poiščimo porazdelitev r.v. , kjer je r.v. so neodvisni in imajo enake inverzne Gaussove porazdelitve.

rešitev. Z uporabo formule (3.9) dobimo naslednji izraz za generatorsko funkcijo momentov r.v. :

Generatorska funkcija momentov ustreza edinstveni porazdelitvi in ​​lahko preverimo, da ima inverzno Gaussovo porazdelitev s parametri in .

Približki za porazdelitev vsote

Osrednji mejni izrek zagotavlja metodo za iskanje numeričnih vrednosti za porazdelitev vsote neodvisnih naključnih spremenljivk. Običajno je ta izrek oblikovan za vsoto neodvisnih in enako porazdeljenih naključnih spremenljivk, kjer .

Za vsak n je porazdelitev r.v kjer = , ima matematično pričakovanje 0 in varianco 1. Kot je znano, je zaporedje takih porazdelitev (za n= 1, 2, ...) teži k standardni normalni porazdelitvi. Kdaj n Ta izrek se v veliki meri uporablja za približevanje porazdelitve r.v. normalna porazdelitev s povprečjem μ in disperzija. Podobno porazdelitev zneska n naključne spremenljivke so aproksimirane z normalno porazdelitvijo s povprečjem in varianco.

Učinkovitost takšnega približka ni odvisna le od števila členov, ampak tudi od bližine porazdelitve členov normalni. Številni tečaji osnovne statistike navajajo, da mora biti n vsaj 30, da je približek razumen.

Vendar pa eden od programov za generiranje normalno porazdeljenih naključnih spremenljivk, ki se uporablja pri simulacijskem modeliranju, implementira normalno naključno spremenljivko kot povprečje 12 neodvisnih naključnih spremenljivk, enakomerno porazdeljenih v intervalu (0,1).

V številnih individualnih modelih tveganja naključne spremenljivke, vključene v zneske, niso enakomerno porazdeljene. To bo ponazorjeno s primeri v naslednjem razdelku.

Centralni limitni izrek velja tudi za zaporedja neenakomerno porazdeljenih naključnih spremenljivk.

Za ponazoritev nekaterih aplikacij individualnega modela tveganja uporabljamo normalen približek porazdelitve vsote neodvisnih naključnih spremenljivk, da dobimo numerične rešitve. če , To

in dalje, če je r.v. so neodvisni, torej

Za zadevno aplikacijo potrebujemo le:

• poiščite srednje vrednosti in variance naključnih spremenljivk, ki modelirajo posamezne izgube,
• jih seštejemo, da dobimo povprečje in varianco škod zavarovalnice kot celote,
• uporabite običajni približek.

Spodaj prikazujemo to zaporedje dejanj.

Prijave v zavarovanje

Ta razdelek ponazarja uporabo normalnega približka s štirimi primeri.

Primer 5.1.Življenjska zavarovalnica ponuja enoletno polico smrtnega zavarovanja z izplačili 1 in 2 enot posameznikom z verjetnostjo smrti 0,02 ali 0,01. Spodnja tabela prikazuje število oseb nk v vsakem od štirih razredov, oblikovanih v skladu s plačilom b k in verjetnost nastanka zavarovalnega dogodka q k:

k	q k	b k	n k
1	0,02	1	500
2	0,02	2	500
3	0,10	1	300
4	0,10	2	500

Zavarovalnica želi od te skupine 1.800 posameznikov zbrati znesek v višini 95. percentila razdelitve skupnih zavarovalnin za to skupino. Poleg tega želi, da je delež vsakega posameznika v tem znesku sorazmeren s pričakovano zavarovalnino.

Delež osebe s številom, katere povprečna plača je enaka, naj bi bil . Iz zahteve za 95. percentil sledi, da . Znesek presežka, , je premija za tveganje in se imenuje relativna premija za tveganje. Naredimo matematiko.

rešitev. Vrednost je določena z razmerjem = 0,95, kjer je S = X 1 + X 2 + ... + X 1800. Ta izjava o verjetnosti je enakovredna naslednjemu:

V skladu s tem, kar je bilo povedano o osrednjem mejnem izreku v odd. 4, aproksimiramo r.v. standardno normalno porazdelitev in uporabimo njen 95. percentil, iz katerega dobimo:

Za štiri razrede, v katere so razdeljeni zavarovanci, dobimo naslednje rezultate:

k	q k	b k	Povprečje b k q k	Varianca b 2 k q k (1-q k)	n k
1	0,02	1	0,02	0,0196	500
2	0,02	2	0,04	0,0784	500
3	0,10	1	0,10	0,0900	300
4	0,10	2	0,20	0,3600	500

torej

Zato je relativna premija za tveganje

Primer 5.2. Stranke avtomobilske zavarovalnice so razdeljene v dva razreda:

Razred	Število v razredu	Verjetnost pojava zavarovalni dogodek	Razdelitev zavarovalnin, okrnjeni eksponentni parametri distribucija
k				L
1	500	0,10	1	2,5
2	2000	0,05	2	5,0

Prirezana eksponentna porazdelitev je definirana s porazdelitveno funkcijo

To je porazdelitev mešanega tipa s funkcijo gostote , in "grudo" verjetnostne mase na točki L. Graf te porazdelitvene funkcije je prikazan na sliki 5.1.

riž. 5.1. Okrajšana eksponentna porazdelitev

Tako kot doslej naj bi bila verjetnost, da skupni znesek zavarovalnine preseže znesek, pobran od zavarovancev, enaka 0,05. Predpostavili bomo, da mora biti relativna premija za tveganje enaka v vsakem od obeh obravnavanih razredov. Izračunajmo.

rešitev. Ta primer je zelo podoben prejšnjemu. Razlika je le v tem, da so zneski zavarovalnin zdaj naključne spremenljivke.

Najprej dobimo izraze za momente okrnjene eksponentne porazdelitve. To bo pripravljalni korak za uporabo formul (2.25) in (2.26):

Z uporabo vrednosti parametrov, navedenih v pogoju, in z uporabo formul (2.25) in (2.26) dobimo naslednje rezultate:

k	q k	μ k	σ 2 k	Povprečje q k μ k	Varianca μ 2 k q k (1-q k)+σ 2 k q k	n k
1	0,10	0,9139	0,5828	0,09179	0,13411	500
2	0,05	0,5000	0,2498	0,02500	0,02436	2000

Torej, S, skupni znesek izplačil zavarovanja, ima trenutke

Pogoj za definicijo ostaja enak kot v primeru 5.1, in sicer

S ponovno uporabo približka normalne porazdelitve dobimo

Primer 5.3. Portfelj zavarovalnice obsega 16.000 smrtnih zavarovanj za obdobje enega leta po naslednji tabeli:

Verjetnost zavarovalnega dogodka q za vsako od 16.000 strank (predpostavimo, da so ti dogodki med seboj neodvisni) je 0,02. Podjetje želi vzpostaviti lastno stopnjo zadrževanja. Za vsakega zavarovanca je stopnja lastnega samopridržaja vrednost, pod katero ta družba (cedent) plačuje samostojno, vplačila nad to vrednostjo pa krije po pozavarovalni pogodbi druga družba (pozavarovalnica).

Na primer, če je stopnja franšize 200.000, potem podjetje rezervira kritje do 20.000 za vsakega zavarovanca in kupi pozavarovanje za kritje razlike med zavarovalnim zahtevkom in zneskom 20.000 za vsakega od 4.500 zavarovancev, katerih zavarovalne ugodnosti presegajo znesek 20.000 .

Kot merilo odločitve se podjetje odloči zmanjšati verjetnost, da bodo zadržani zavarovalni zahtevki in znesek, plačan za pozavarovanje, presegli znesek 8.250.000 Pozavarovalni stroški 0,025 na enoto kritja (tj. 125 % pričakovanega zneska zavarovalnih plačil na enoto). 0,02).

Menimo, da je obravnavani portfelj zaprt: nove zavarovalne pogodbe, sklenjene v tekočem letu, v opisanem postopku odločanja ne bodo upoštevane.

Delna rešitev. Najprej opravimo vse izračune, pri čemer za plačilno enoto izberemo 10.000, predpostavimo, da je c. V. S je znesek plačil, ki ostanejo na lastnem odbitku, ima naslednjo obliko:

Tem zavarovalnim plačilom, ki ostanejo v lastnem odbitku, S, se doda znesek pozavarovalnih premij. Skupaj je skupni znesek kritja po tej shemi

Znesek, ki ostane pri lastnem odbitku, je enak

Tako je skupna pozavarovalna vrednost 35.000-24.000=11.000, strošek pozavarovanja pa je

To pomeni, da z lastno stopnjo samopridržaja, ki je enaka 2, zavarovalna plačila, ki ostanejo za lastno samopridržanje, plus stroški pozavarovanja znašajo . Kriterij odločitve temelji na verjetnosti, da bo ta skupni znesek presegel 825,

Z uporabo normalne porazdelitve ugotovimo, da je ta vrednost približno 0,0062.

Povprečne vrednosti zavarovalnin za zavarovanje presežnih škod, kot eno od vrst pozavarovanja, je mogoče aproksimirati z uporabo normalne porazdelitve kot porazdelitve celotnih zavarovalnin.

Naj imajo skupna zavarovalnina X normalno porazdelitev s povprečjem in varianco

Primer 5.4. Oglejmo si zavarovalniški portfelj, kot v primeru 5.3. Poiščimo matematično pričakovanje zneska zavarovalnine po pogodbi o zavarovanju presežka škode, če

(a) ni individualnega pozavarovanja in brezpogojna franšiza je določena na 7.500.000

(b) lastna franšiza je določena v višini 20.000 za posamezne zavarovalne pogodbe in znesek brezpogojne franšize za portfelj je 5.300.000.

rešitev.

(a) Če ni individualnega pozavarovanja in prehoda na 10.000 kot denarno enoto

uporaba formule (5.2) daje

kar v originalnih enotah znaša 43.770.

(b) V primeru 5.3 smo dobili povprečje in varianco skupnih premij na ravni posamezne odbitne franšize 20.000, ki znašata 480 oziroma 784, z uporabo 10.000 kot enote. Torej = 28.

uporaba formule (5.2) daje

kar znese v originalnih enotah 4140.