V praxi často vzniká potreba nájsť zákon rozdelenia súčtu náhodných veličín.

Nech existuje systém (X x X 2) dve súvislé s. V. a ich súčet

Nájdite distribučnú hustotu c. V. U. V súlade so všeobecným riešením z predchádzajúceho odseku nájdeme oblasť roviny, kde x+ x 2 (obr. 9.4.1):

Diferencovaním tohto výrazu vzhľadom na y dostaneme p.r. náhodná premenná Y = X + X 2:

Keďže funkcia φ (x b x 2) = Xj + x 2 je symetrická vzhľadom na jej argumenty, potom

Ak s. V. X A X 2 sú nezávislé, potom vzorce (9.4.2) a (9.4.3) budú mať tvar:

V prípade, keď nezávislá s. V. X x A X 2, hovoriť o zložení distribučných zákonov. Produkovať zloženie dva zákony rozdelenia - to znamená nájsť zákon rozdelenia súčtu dvoch nezávislých s. c., distribuované podľa týchto zákonov. Na označenie zloženia distribučných zákonov sa používa symbolický zápis

ktorý v podstate označuje vzorce (9.4.4) alebo (9.4.5).

Príklad 1. Uvažuje sa o prevádzke dvoch technických zariadení (TD). Najprv TU funguje, po jej poruche (zlyhaní) je zaradená do prevádzky TU 2. Bezporuchové prevádzkové časy TU L TU 2 - X x A X 2 - sú nezávislé a rozdelené podľa exponenciálnych zákonov s parametrami A,1 a X 2. Preto čas Y bezporuchovej prevádzky technického zariadenia pozostávajúceho z technického zariadenia! a TU 2, bude určený vzorcom

Je potrebné nájsť p.r. náhodná premenná Y, t.j. zloženie dvoch exponenciálnych zákonov s parametrami a X 2.

Riešenie. Pomocou vzorca (9.4.4) dostaneme (y > 0)

Ak existuje zloženie dvoch exponenciálnych zákonov s rovnakými parametrami (?ts = X 2 = Y), potom vo výraze (9.4.8) dostaneme neistotu typu 0/0, čím dostaneme:

Pri porovnaní tohto výrazu s výrazom (6.4.8) sme presvedčení, že zloženie dvoch rovnakých exponenciálnych zákonov (?ts = X 2 = X) predstavuje Erlangov zákon druhého rádu (9.4.9). Pri kombinácii dvoch exponenciálnych zákonov s rôznymi parametrami X x a A-2 prijímajú zovšeobecnil Erlangov zákon druhého poriadku (9.4.8). ?

Úloha 1. Zákon rozdelenia rozdielu dvoch s. V. Systém s. V. (X a X 2) má spoločnú p.r./(x b x 2). Nájsť p.r. ich rozdiely Y = X - X 2.

Riešenie. Pre systém s. V. (X b - X 2) atď. bude/(x b - x 2), t.j. rozdiel sme nahradili súčtom. Preto p.r. náhodná premenná bude mať tvar (pozri (9.4.2), (9.4.3)):

Ak s. V. X x iX 2 sú teda nezávislé

Príklad 2. Nájdite p.r. rozdiel medzi dvoma nezávislými exponenciálne rozdelenými s. V. s parametrami X x A X 2.

Riešenie. Pomocou vzorca (9.4.11) dostaneme

Ryža. 9.4.2 Ryža. 9.4.3

Obrázok 9.4.2 zobrazuje pr. g(y). Ak vezmeme do úvahy rozdiel dvoch nezávislých exponenciálne rozdelených s. V. s rovnakými parametrami (A-i= X 2 = A,), To g(y) = /2 - už známe

Laplaceov zákon (obr. 9.4.3). ?

Príklad 3. Nájdite zákon rozdelenia súčtu dvoch nezávislých s. V. X A X 2, rozdelené podľa Poissonovho zákona s parametrami a x A a 2.

Riešenie. Poďme zistiť pravdepodobnosť udalosti (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,

Preto s. V. Y = X x + X 2 rozdelené podľa Poissonovho zákona s parametrom a x2) - a x + a 2. ?

Príklad 4. Nájdite zákon rozdelenia súčtu dvoch nezávislých s. V. X x A X 2, rozdelené podľa binomických zákonov s parametrami p x ri p 2, str resp.

Riešenie. Predstavme si s. V. X x ako:

Kde X 1) - indikátor udalosti A Wuova skúsenosť:

Distribučný rad c. V. X,- má tvar

Podobné zastúpenie urobíme aj pre s. V. X 2: kde X] 2) - indikátor udalosti A v y-tej skúsenosti:

teda

kde je X? 1)+(2), ak je indikátor udalosti A:

Ukázali sme teda, že s. V. Otestujte množstvo (u + n 2) indikátory udalostí A, z ktorého vyplýva, že ust. V. ^rozdelené podľa binomického zákona s parametrami ( p x + p 2), r.

Všimnite si, že ak pravdepodobnosti R sú rôzne v rôznych sériách experimentov, potom v dôsledku pridania dvoch nezávislých s. in., rozdelené podľa binomických zákonov, vychádza c. c., distribuované nie podľa binomického zákona. ?

Príklady 3 a 4 sa dajú ľahko zovšeobecniť na ľubovoľný počet výrazov. Pri kombinácii Poissonových zákonov s parametrami a b a 2, ..., a t opäť dostaneme Poissonov zákon s parametrom a (t) = a x + a2 + ... + a t.

Pri skladaní binomických zákonov s parametrami (p p p); (ja 2, R) , (p t, p) opäť dostaneme binomický zákon s parametrami („(“), R), Kde n (t) = n + n2+ ... + p t.

Preukázali sme dôležité vlastnosti Poissonovho zákona a binomického zákona: „vlastnosť stability“. Distribučný zákon je tzv udržateľný, ak zložením dvoch zákonov rovnakého druhu vznikne zákon rovnakého druhu (len parametre tohto zákona sa líšia). V pododdiele 9.7 ukážeme, že normálny zákon má rovnakú vlastnosť stability.

Použime všeobecnú metódu načrtnutú vyššie na vyriešenie jedného problému, a to nájsť zákon rozdelenia súčtu dvoch náhodných premenných. Existuje systém dvoch náhodných veličín (X,Y) s hustotou rozdelenia f(x,y). Uvažujme súčet náhodných veličín X a Y: a nájdime zákon rozdelenia hodnoty Z. Na to zostrojíme v rovine xOy priamku, ktorej rovnica je (obr. 7). Toto je priama čiara oddeľujúca segmenty rovnajúce sa z na osiach. Rovná čiara rozdeľuje rovinu xOy na dve časti; vpravo a nad ním; doľava a dole.

Oblasť D je v tomto prípade ľavá dolná časť roviny xOy, vytieňovaná na obr. 7. Podľa vzorca (16) máme:

Diferencovaním tohto výrazu vzhľadom na premennú z zahrnutú v hornej hranici vnútorného integrálu dostaneme:

Toto je všeobecný vzorec pre hustotu distribúcie súčtu dvoch náhodných premenných.

Z dôvodov symetrie úlohy vzhľadom na X a Y môžeme napísať inú verziu toho istého vzorca:

ktorý je ekvivalentný prvému a možno ho použiť namiesto neho.

Príklad zloženia normálnych zákonov. Uvažujme dve nezávislé náhodné premenné X a Y, ktoré podliehajú normálnym zákonom:

Je potrebné vytvoriť kompozíciu týchto zákonov, to znamená nájsť zákon rozdelenia množstva: .

Aplikujme všeobecný vzorec na zloženie distribučných zákonov:

Ak otvoríme zátvorky v exponente integrandu a prinesieme podobné výrazy, dostaneme:

Nahradením týchto výrazov do vzorca sme sa už stretli

po transformáciách dostaneme:

a to nie je nič iné ako normálny zákon s centrom rozptylu

a štandardná odchýlka

K rovnakému záveru možno dospieť oveľa jednoduchšie pomocou nasledujúceho kvalitatívneho uvažovania.

Bez otvárania zátvoriek a bez akýchkoľvek transformácií v integrande (17) okamžite prídeme k záveru, že exponent je štvorcová trojčlenka vzhľadom na x tvaru

kde hodnota z nie je zahrnutá v koeficiente A vôbec, v koeficiente B je zahrnutá do prvej mocniny a v koeficiente C je druhá mocnina. Keď si to uvedomíme a použijeme vzorec (18), dospejeme k záveru, že g(z) je exponenciálna funkcia, ktorej exponent je štvorcová trojčlenka vzhľadom na z a hustotu rozdelenia; Tento typ zodpovedá bežnému zákonu. Teda my; prichádzame k čisto kvalitatívnemu záveru: zákon rozdelenia hodnoty z musí byť normálny. Na nájdenie parametrov tohto zákona – a – použijeme vetu o sčítaní matematických očakávaní a vetu o sčítaní rozptylov. Podľa vety o sčítaní matematických očakávaní. Podľa vety o sčítaní rozptylov alebo z ktorej vyplýva vzorec (20).

Prechodom od štandardných odchýlok k pravdepodobným odchýlkam, ktoré sú im úmerné, dostaneme: .

Dospeli sme teda k nasledujúcemu pravidlu: pri spojení normálnych zákonov sa opäť získa normálny zákon a matematické očakávania a rozptyly (alebo druhé mocniny pravdepodobných odchýlok) sa spočítajú.

Pravidlo pre skladbu normálnych zákonov možno zovšeobecniť na prípad ľubovoľného počtu nezávislých náhodných premenných.

Ak existuje n nezávislých náhodných premenných: podlieha normálnym zákonom so stredmi disperzie a štandardnými odchýlkami, potom hodnota podlieha aj normálnemu zákonu s parametrami

Namiesto vzorca (22) môžete použiť ekvivalentný vzorec:

Ak je systém náhodných premenných (X, Y) rozdelený podľa normálneho zákona, ale hodnoty X, Y sú závislé, potom nie je ťažké dokázať, rovnako ako predtým, na základe všeobecného vzorca (6.3. 1), že zákon rozdelenia hodnoty je tiež normálnym zákonom. Stredy rozptylu sa stále pridávajú algebraicky, ale pre štandardné odchýlky sa pravidlo stáva zložitejším: kde, r je korelačný koeficient hodnôt X a Y.

Pri sčítaní niekoľkých závislých náhodných premenných, ktoré ako celok podliehajú normálnemu zákonu, sa zákon rozdelenia súčtu ukáže ako normálny aj s parametrami

alebo v pravdepodobných odchýlkach

kde je korelačný koeficient veličín X i, X j a súčet platí pre všetky rôzne párové kombinácie veličín.

Presvedčili sme sa o veľmi dôležitej vlastnosti normálneho zákona: skladbou normálnych zákonov sa opäť získa normálny zákon. Ide o takzvanú „vlastnosť stability“. Distribučný zákon sa nazýva stabilný, ak zloženie dvoch zákonov tohto typu opäť vedie k zákonu rovnakého typu. Vyššie sme ukázali, že normálny zákon je stabilný. Len veľmi málo distribučných zákonov má vlastnosť stability. Zákon rovnomernej hustoty je nestabilný: spojením dvoch zákonov rovnomernej hustoty v sekciách od 0 do 1 sme dostali Simpsonov zákon.

Stabilita normálneho práva je jednou z podstatných podmienok jeho širokého využitia v praxi. Vlastnosť stability však majú okrem normálneho aj niektoré ďalšie distribučné zákony. Charakteristickým rysom normálneho zákona je, že keď sa vytvorí dostatočne veľký počet prakticky ľubovoľných distribučných zákonov, celkový zákon sa ukáže byť tak blízky normálu, ako je žiaduce, bez ohľadu na to, aké boli distribučné zákony termínov. Dá sa to ilustrovať napríklad zložením troch zákonov rovnomernej hustoty v oblastiach od 0 do 1. Výsledný distribučný zákon g(z) je znázornený na obr. 8. Ako vidno z nákresu, graf funkcie g(z) je veľmi podobný grafu normálneho zákona.

TÉMA 3
	koncepcia distribučnej funkcie
	matematické očakávanie a rozptyl
	rovnomerné (pravouhlé) rozdelenie
	normálne (Gaussovo) rozdelenie
	Distribúcia
	t- Študentská distribúcia
	F- distribúcia
	rozdelenie súčtu dvoch náhodných nezávislých premenných
	príklad: rozdelenie súčtu dvoch nezávislých rovnomerne rozložené množstvá
	náhodná premenná transformácia
	príklad: harmonické rozdelenie s náhodnou fázou
	centrálna limitná veta
	momenty náhodnej veličiny a ich vlastnosti
ÚČEL CYKLU PREDNÁŠKY:		POSKYTUJTE ÚVODNÉ INFORMÁCIE O DÔLEŽITÝCH FUNKCIÁCH DISTRIBÚCIÍ A ICH VLASTNOSTIACH

DISTRIBUČNÉ FUNKCIE

Nechaj x(k)- nejaká náhodná veličina. Potom pre akúkoľvek pevnú hodnotu x náhodná udalosť x(k) X je definovaný ako súbor všetkých možných výsledkov k také že x(k) x. Pokiaľ ide o počiatočnú mieru pravdepodobnosti špecifikovanú vo vzorovom priestore, distribučná funkciaP(x) je definovaná ako pravdepodobnosť priradená množine bodov k x(k) x. Všimnite si, že množina bodov k, uspokojujúce nerovnosť x(k) x, je podmnožinou množiny bodov, ktoré spĺňajú nerovnosť x(k) . Formálne

To je zrejmé

Ak je rozsah hodnôt náhodnej premennej spojitý, ako sa predpokladá nižšie, potom hustota pravdepodobnosti(jednorozmerný) p(x) určený diferenciálnym vzťahom

(4)

teda

(6)

Aby bolo možné uvažovať o diskrétnych prípadoch, je potrebné predpokladať prítomnosť delta funkcií v hustote pravdepodobnosti.

OČAKÁVANÁ HODNOTA

Nech náhodná premenná x(k) nadobúda hodnoty z rozsahu od -  do + . Priemerná hodnota(inak, očakávaná hodnota alebo očakávaná hodnota) x(k) sa vypočíta pomocou zodpovedajúceho limitného prechodu v súčte súčinov hodnôt x(k) o pravdepodobnosti výskytu týchto udalostí:

(8)

Kde E- matematické očakávanie výrazu v hranatých zátvorkách podľa indexu k. Podobne sa určí aj matematické očakávanie reálnej jednohodnotovej spojitej funkcie g(X) z náhodnej premennej x(k)

(9)

Kde p(x)- hustota pravdepodobnosti náhodnej veličiny x(k). Najmä brať g(x)=x, dostaneme stredná hodnota štvorca x(k) :

(10)

Disperziax(k) definovaný ako stredná štvorec rozdielu x(k) a jeho priemerná hodnota,

teda v tomto prípade g(x)= A

A-priory, smerodajná odchýlka náhodná premenná x(k), označené , je kladná druhá odmocnina rozptylu. Smerodajná odchýlka sa meria v rovnakých jednotkách ako priemer.

DÔLEŽITÉ FUNKCIE DISTRIBÚCIE

ROVNOMERNÉ (OBDŽNÍKOVÉ) ROZDELENIE.

Predpokladajme, že experiment pozostáva z náhodného výberu bodu z intervalu [ a,b] vrátane jeho koncových bodov. V tomto príklade ako hodnota náhodnej premennej x(k) môžete prevziať číselnú hodnotu vybraného bodu. Príslušná distribučná funkcia má tvar

Preto je hustota pravdepodobnosti daná vzorcom

V tomto príklade sa vypočíta priemer a rozptyl pomocou vzorcov (9) a (11).

NORMÁLNE (GAUSSIOVSKÉ) ROZDELENIE

, - aritmetický priemer, - štandardná odchýlka.

Hodnota z zodpovedajúca pravdepodobnosti P(z)=1-, t.j.

CHI - Štvorcová distribúcia

Nechaj - n nezávislých náhodných premenných, z ktorých každá má normálne rozdelenie s nulovým priemerom a jednotkovým rozptylom.

Chí-kvadrát je náhodná premenná s n stupňami voľnosti.

hustota pravdepodobnosti.

DF: 100 - percentuálne body - sú určené rozdelenia, t.j.

priemer a rozptyl sú rovnaké

t - ROZDÁVKY ŠTUDENTOV

y, z - nezávislé náhodné premenné; y - má - rozdelenie, z - je normálne rozdelené s nulovým priemerom a jednotkovým rozptylom.

veľkosť - má t- Študentské rozdelenie s n stupňami voľnosti

DF: 100 - percentuálny bod t - je uvedené rozdelenie

Priemer a rozptyl sú rovnaké

F - DISTRIBÚCIA

Nezávislé náhodné premenné; má - rozdelenie so stupňami voľnosti; rozdelenie so stupňami voľnosti. Náhodná hodnota:

,

F je distribuovaná náhodná premenná so stupňami voľnosti.

,

DF: 100 - percentuálny bod:

Priemer a rozptyl sú rovnaké:

ROZDELENIE SUMY

DVE NÁHODNÉ PREMENNÉ

Nechaj x(k) A y(k)– náhodné premenné so spoločnou hustotou pravdepodobnosti p(x,y). Nájdite hustotu pravdepodobnosti súčtu náhodných premenných

Pri pevnom X máme y= z–x. Preto

Pri pevnom z hodnoty X spustite interval od – do +. Preto

(37)

z čoho je zrejmé, že na výpočet požadovanej hustoty súčtu potrebujete poznať pôvodnú hustotu spoločnej pravdepodobnosti. Ak x(k) A y(k) sú nezávislé náhodné premenné majúce hustoty a podľa toho potom a

(38)

PRÍKLAD: SÚČET DVOCH NEZÁVISLÝCH, ROVNOMERNE ROZLOŽENÝCH NÁHODNÝCH PREMENNÝCH.

Nech dve náhodné nezávislé premenné majú hustotu tvaru

V iných prípadoch Nájdite hustotu pravdepodobnosti p(z) ich súčtu z= x+ y.

Hustota pravdepodobnosti Pre t.j. pre teda X nepresahuje z. Okrem toho sa nerovná nule pre Podľa vzorca (38) zistíme, že

Ilustrácia:

Hustota pravdepodobnosti súčtu dvoch nezávislých, rovnomerne rozdelených náhodných premenných.

NÁHODNÁ KONVERZIA

HODNOTY

Nechaj x(t)- náhodná veličina s hustotou pravdepodobnosti p(x), nechaj to tak g(x)- jednohodnotová reálna spojitá funkcia o X. Zoberme si najprv prípad, keď inverzná funkcia x(g) je tiež jednohodnotová spojitá funkcia g. Hustota pravdepodobnosti p(g), zodpovedajúca náhodnej premennej g(x(k)) = g(k), možno určiť hustotou pravdepodobnosti p(x) náhodná premenná x(k) a derivát dg/dx za predpokladu, že derivát existuje a je nenulový, konkrétne:

(12)

Preto v limite pri dg/dx#0

(13)

Pomocou tohto vzorca nasleduje na pravej strane namiesto premennej X nahradiť príslušnú hodnotu g.

Pozrime sa teraz na prípad, keď inverzná funkcia x(g) je platné n-cenná funkcia g, Kde n- celé číslo a všetkých n hodnôt je rovnako pravdepodobné. Potom

(14)

PRÍKLAD:

ROZDELENIE HARMONICKEJ FUNKCIE.

Harmonická funkcia s pevnou amplitúdou X a frekvenciu f bude náhodnou premennou, ak jej počiatočný fázový uhol  =  (k)- náhodná hodnota. Najmä nech t pevné a rovnaké t o, a harmonická náhodná premenná nech má tvar

Predstierajme to  (k) má jednotnú hustotu pravdepodobnosti p( ) typu

Poďme nájsť hustotu pravdepodobnosti p(x) náhodná premenná x(k).

V tomto príklade priama funkcia X( ) jedinečne a inverzná funkcia  (X) dvojciferný

Definícia. Náhodné premenné X 1, X 2, ..., X n sa nazývajú nezávislé, ak pre ľubovoľné x 1, x 2, ..., x n sú udalosti nezávislé

(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.

Z definície hneď vyplýva, že pre nezávislé náhodné premenné X 1, X 2, …, Xn distribučná funkcia n-rozmerná náhodná premenná X = X 1, X 2, …, Xn rovný súčinu distribučných funkcií náhodných veličín X 1, X 2, …, Xn

F(x 1 , x 2, …, x n) = F(x 1)F(x 2)…F(x n). (1)

Rozlišujme rovnosť (1) n krát x 1 , x 2, …, x n, dostaneme

p(x 1 , x 2, …, x n) = p(x 1)p(x 2)…p(x n). (2)

Môže byť uvedená iná definícia nezávislosti náhodných premenných.

Ak distribučný zákon jednej náhodnej premennej nezávisí od toho, aké možné hodnoty nadobudli iné náhodné premenné, potom sa takéto náhodné premenné nazývajú kolektívne nezávislé.

Napríklad boli zakúpené dve lotériové lístky rôzne problémy. Nechaj X- výška výhry na prvom tikete, Y– výška výhry na druhom tikete. Náhodné premenné X A Y– nezávislé, keďže výhra jedného tiketu neovplyvní distribučný zákon druhého tiketu. Ale ak sú lístky rovnakého vydania, potom X A Y– závislý.

Dve náhodné premenné sa nazývajú nezávislé, ak sa distribučný zákon jednej z nich nemení v závislosti od možných hodnôt druhej premennej.

Veta 1(konvolúcia) alebo „veta o hustote súčtu 2 náhodných premenných“.

Nechaj X = (X 1;X 2) – nezávislá spojitá dvojrozmerná náhodná premenná, Y = X 1+ X 2. Potom hustota distribúcie

Dôkaz. Dá sa ukázať, že ak , tak

Kde X = (X 1 , X 2 , …, Xn). Potom ak X = (X 1 , X 2), potom distribučná funkcia Y = X 1 + X 2 možno definovať nasledovne (obr. 1) –

V súlade s definíciou je funkciou hustota rozdelenia náhodnej premennej Y = X 1 + X 2, t.j.

p y (t) = čo bolo potrebné dokázať.

Odvoďme vzorec na nájdenie rozdelenia pravdepodobnosti súčtu dvoch nezávislých diskrétnych náhodných premenných.

Veta 2. Nechaj X 1 , X 2 – nezávislé diskrétne náhodné premenné,

Dôkaz. Predstavme si udalosť A x = {X 1 +X 2 = X) ako súčet nezlučiteľných udalostí

A x = å( X 1 = X i; X 2 = X– X i).

Pretože X 1 , X 2 – nezávislá potom P(X 1 = X i; X 2 = X– X i) = P(X 1 = X i) P(X 2 = x – x ja potom

P(A x) = P(å( X 1 = X i; X 2 = x – xi)) = å( P(X 1 = x i) P(X 2 = x – x i)),

Q.E.D.

Príklad 1 Nechaj X 1 , X 2 – nezávislé náhodné premenné s normálnym rozdelením s parametrami N(0;1); X 1 , X 2 ~ N(0;1).

Nájdite distribučnú hustotu ich súčtu (označíme X 1 = X, Y = X 1 +X 2)

Je ľahké vidieť, že integrandová funkcia je hustota distribúcie normálnej náhodnej premennej s parametrami A= , , t.j. integrál sa rovná 1.

Funkcia p y(t) je normálna hustota rozdelenia s parametrami a = 0, s = . Súčet nezávislých normálnych náhodných veličín s parametrami (0,1) má teda normálne rozdelenie s parametrami (0,), t.j. Y = X 1 + X 2 ~ N(0;).

Príklad 2. Nech sú teda dané dve diskrétne nezávislé náhodné premenné s Poissonovým rozdelením

Kde k, m, n = 0, 1, 2, …,¥.

Podľa vety 2 máme:

Príklad 3 Nechaj X 1, X 2 – nezávislé náhodné premenné s exponenciálnym rozdelením. Poďme zistiť hustotu Y= X 1 +X 2 .

Označme X = X 1. Odkedy X 1, X 2 sú nezávislé náhodné premenné, potom použijeme „konvolučnú vetu“

Dá sa ukázať, že ak je daný súčet ( X i majú exponenciálne rozdelenie s parametrom l), potom Y=má distribúciu nazývanú distribúcia Erlang ( n– 1) objednávka. Tento zákon bol získaný modelovaním fungovania telefónnych ústrední v prvých prácach o teórii radenia.

V matematickej štatistike sa často používajú zákony rozdelenia náhodných premenných, ktoré sú funkciami nezávislých normálnych náhodných premenných. Uvažujme o troch zákonoch, s ktorými sa najčastejšie stretávame pri modelovaní náhodných javov.

Veta 3. Ak sú náhodné premenné nezávislé X 1, ..., Xn, potom sú funkcie týchto náhodných premenných tiež nezávislé Y 1 = f 1 (X 1), ...,Yn = fn(Xn).

Pearsonova distribúcia(od 2 -distribúcia). Nechaj X 1, ..., Xn– nezávislé normálne náhodné premenné s parametrami A= 0, s = 1. Vytvorme náhodnú premennú

teda

Dá sa ukázať, že hustota pre x > 0 má tvar , kde k n je určitý koeficient pre splnenie podmienky. Ako n ® ¥ má Pearsonovo rozdelenie tendenciu k normálnemu rozdeleniu.

Nech X 1, X 2, …, Xn ~ N(a,s), potom náhodné premenné ~ N(0,1). Náhodná premenná má teda rozdelenie c 2 s n stupňami voľnosti.

Pearsonovo rozdelenie je tabuľkové a používané v rôznych aplikáciách matematickej štatistiky (napríklad pri testovaní hypotézy o konzistencii distribučného zákona).

Osoba s rozhodovacou právomocou môže použiť poistenie na zníženie nepriaznivého finančného dopadu určitých typov náhodných udalostí.

Táto úvaha je však veľmi všeobecná, pretože osoba s rozhodovacou právomocou môže znamenať buď jednotlivca, ktorý žiada o ochranu pred škodou na majetku, úsporách alebo príjmoch, alebo organizáciu hľadajúcu ochranu pred rovnakým typom škody.

V skutočnosti sa takáto organizácia môže ukázať ako taká Poisťovňa, ktorá hľadá spôsoby, ako sa ochrániť pred finančnou stratou v dôsledku príliš veľkého počtu poistných udalostí u jednotlivého klienta alebo jeho poistného kmeňa. Tento typ ochrany sa nazýva zaistenie.

Zoberme si jeden z dvoch modelov (t individuálny rizikový model) široko používané pri určovaní poistných sadzieb a rezerv, ako aj pri zaistení.

Označme podľa S výšku náhodných strát poisťovne na niektorú časť jej rizík. V tomto prípade S je náhodná premenná, pre ktorú musíme určiť rozdelenie pravdepodobnosti. Historicky pri rozvodoch r.v. S existovali dva súbory postulátov. Určuje individuálny model rizika S nasledujúcim spôsobom:

kde r.v. znamená straty spôsobené poistným predmetom s číslom ja, A n označuje celkový počet predmetov poistenia.

Zvyčajne sa predpokladá, že ide o nezávislé náhodné premenné, keďže v tomto prípade sú matematické výpočty jednoduchšie a informácie o povahe vzťahu medzi nimi nie sú potrebné. Druhým modelom je model kolektívneho rizika.

Uvažovaný individuálny rizikový model neodráža zmeny hodnoty peňazí v čase. Toto sa robí pre zjednodušenie modelu, a preto názov článku odkazuje na krátky časový interval.

Budeme brať do úvahy len uzavreté modely, t.j. tie, v ktorých počet predmetov poistenia n vo vzorci (1.1) je známy a pevne stanovený na samom začiatku uvažovaného časového intervalu. Ak zavedieme predpoklady o prítomnosti migrácie z alebo do poistného systému, získame otvorený model.

Náhodné premenné popisujúce jednotlivé platby

Najprv si pripomeňme základné ustanovenia týkajúce sa životného poistenia.

Pri poistení pre prípad smrti na dobu jedného roka sa poisťovateľ zaväzuje uhradiť sumu b, ak poistník do roka odo dňa uzavretia poistnej zmluvy zomrie, a neplatí nič, ak sa poistník dožije tohto roku.

Pravdepodobnosť, že poistná udalosť nastane počas stanoveného roka, je označená .

Popis náhodnej premennej platby poistenia, má rozdelenie, ktoré môže byť špecifikované buď pravdepodobnostnou funkciou

(2.1)

alebo zodpovedajúca distribučná funkcia

(2.2)

Zo vzorca (2.1) az definície momentov získame

(2.4)

Tieto vzorce je možné získať aj písaním X ako

kde je konštantná hodnota vyplatená v prípade smrti a je náhodná premenná s hodnotou 1 pri smrti a 0 v opačnom prípade.

Takto a , a priemer a rozptyl r.v. sú rovné resp. a stredná hodnota a rozptyl r.v. sa rovnajú a , čo sa zhoduje so vzorcami napísanými vyššie.

Náhodná premenná s rozsahom hodnôt (0,1) sa široko používa v poistno-matematických modeloch.

V učebniciach teórie pravdepodobnosti je tzv indikátor, Bernoulli náhodne veľkosť resp binomická náhodná premenná v jedinom skúšobnom dizajne.

Zavoláme jej indikátor z dôvodov stručnosti a tiež preto, že označuje výskyt alebo neprítomnosť príslušnej udalosti.

Prejdime k hľadaniu všeobecnejších modelov, v ktorých je aj hodnota poistného plnenia náhodnou veličinou a v posudzovanom časovom intervale môže nastať viacero poistných udalostí.

Zdravotné poistenie, poistenie auta a iného majetku a poistenie zodpovednosti za škodu poskytuje hneď mnoho príkladov. Zovšeobecňujúci vzorec (2.5), dali sme

kde je náhodná veličina popisujúca platby poistného v uvažovanom časovom intervale, r.v. označuje celkovú výšku platieb v tomto intervale a r.v. je ukazovateľ pre prípad, že nastala aspoň jedna poistná udalosť.

Byť indikátorom takejto udalosti, r.v. zaznamenáva prítomnosť () alebo nedostatok () poistné udalosti v tomto časovom intervale, nie však počet poistných udalostí v ňom.

Pravdepodobnosť bude stále označená .

Poďme si rozobrať niekoľko príkladov a určiť rozdelenie náhodných premenných v určitom modeli.

Uvažujme najskôr o poistení smrti na obdobie jedného roka s dodatočným plnením, ak by došlo k smrti následkom úrazu.

Aby sme si boli istí, predpokladajme, že ak smrť nastane v dôsledku nehody, suma platby bude 50 000, ak smrť nastane z iných príčin, suma platby bude 25 000.

Predpokladajme, že u osoby daného veku, zdravotného stavu a povolania je pravdepodobnosť úmrtia následkom úrazu počas roka 0,0005 a pravdepodobnosť úmrtia z iných príčin 0,0020. Vo forme vzorca to vyzerá takto:

Zhrnutím všetkých možných hodnôt dostaneme

,

Podmienená distribúcia c. V. za predpokladu, že má formu

Zoberme si teraz havarijné poistenie (odškodnenie vyplatené majiteľovi auta za škodu na jeho aute) s nepodmienenou spoluúčasťou 250 a maximálnou výplatou 2000.

Pre prehľadnosť predpokladajme, že pravdepodobnosť jednej poistnej udalosti, ktorá nastane v posudzovanom časovom období pre jednotlivca, je 0,15 a pravdepodobnosť viac ako jednej kolízie je nulová:

, .

Nereálny predpoklad, že počas jedného obdobia nemôže nastať viac poistných udalostí, je urobený z dôvodu zjednodušenia rozdeľovania r.v. .

Tento predpoklad opúšťame v ďalšej časti, keď sa pozrieme na rozdelenie viacerých nárokov.

Keďže ide o výšku platieb poisťovateľa, a nie o škodu spôsobenú na aute, môžeme uvažovať o dvoch charakteristikách, a to .

Po prvé, udalosť zahŕňa tie kolízie, pri ktorých je škoda nižšia ako nepodmienená spoluúčasť, ktorá je 250.

Po druhé, distribúcia r.v. bude mať „zhluk“ pravdepodobnostnej hmotnosti v bode maximálnej sumy poistného, ​​ktorá sa rovná 2000.

Predpokladajme, že hmotnosť pravdepodobnosti sústredená v tomto bode je 0,1. Predpokladajme ďalej, že hodnotu poistných platieb v rozsahu od 0 do 2000 je možné modelovať spojitým rozdelením s funkciou hustoty úmernou (V praxi je spojitá krivka, ktorá je zvolená na znázornenie rozdelenia poistných plnení, výsledkom štúdií úrovní plnení v predchádzajúcom období.)

Zhrnutím týchto predpokladov o podmienenom rozdelení r.v. za predpokladu , dospejeme k distribúcii zmiešaného typu s kladnou hustotou v rozsahu od 0 do 2000 a určitým „zhlukom“ pravdepodobnostnej hmotnosti v bode 2000. Toto ilustruje graf na obr. 2.2.1.

Distribučná funkcia tohto podmieneného rozdelenia vyzerá takto:

Obr.2.1. Distribučná funkcia r.v. V stave I = 1

Vypočítajme matematické očakávanie a rozptyl v uvažovanom príklade s poistenie auta dve cesty.

Najprv si vypíšeme rozdelenie r.v. a použiť ho na výpočet a . Označenie distribučnou funkciou r.v. , máme

Pre X<0

Toto je zmiešaná distribúcia. Ako je znázornené na obr. 2.2, má aj diskrétnu („zhluk“ pravdepodobnostnej hmotnosti v bode 2000) aj spojitú časť. Takáto distribučná funkcia zodpovedá kombinácii pravdepodobnostnej funkcie

Ryža. 2.2. Distribučná funkcia r.v. X = IB

a funkcie hustoty

Najmä a . Preto .

Existuje množstvo vzorcov spájajúcich momenty náhodných premenných s podmienenými matematickými očakávaniami. Pre matematické očakávanie a pre rozptyl majú tieto vzorce tvar

(2.10)

(2.11)

Rozumie sa, že výrazy na ľavých stranách týchto rovníc sú vypočítané priamo z rozdelenia r.v. . Pri výpočte výrazov na pravých stranách, a to a , sa používa podmienené rozdelenie r.v. pri pevnej hodnote r.v. .

Tieto výrazy sú teda funkciami r.v. , a ich momenty môžeme vypočítať pomocou rozdelenia r.v. .

Podmienené rozdelenia sa používajú v mnohých poistno-matematických modeloch, čo umožňuje priame použitie vyššie uvedených vzorcov. V našom modeli. Vzhľadom na r.v. v kvalite a r.v. ako, dostaneme

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

a zvážte podmienené matematické očakávania

(2.16)

(2.17)

Vzorce (2.16) a (2.17) sú definované ako funkcia r.v. , ktorý možno zapísať ako nasledujúci vzorec:

Od , teda (2.21)

Lebo máme a (2.22)

Vzorce (2.21) a (2.22) je možné kombinovať: (2.23)

Takže (2.24)

Dosadením (2.21), (2.20) a (2.24) do (2.12) a (2.13) dostaneme

Aplikujme získané vzorce na výpočet na príklade poistenia auta (obr. 2.2). Keďže funkcia hustoty r.v. Daná podmienka je vyjadrená vzorcom

a P(B=2000|I=1)= 0,1, máme

Napokon, veriť q= 0,15, zo vzorcov (2.25) a (2.26) získame nasledujúce rovnosti:

Pre popis inej poistnej situácie môžeme navrhnúť iné modely pre r.v. .

Príklad: Model počtu úmrtí v dôsledku leteckých nehôd

Ako príklad uveďme model počtu úmrtí v dôsledku leteckých nehôd za jednoročné obdobie prevádzky leteckej spoločnosti.

Môžeme začať s náhodnou premennou opisujúcou počet úmrtí na jeden let a potom tieto náhodné premenné sčítať za všetky lety za rok.

Pri jednom lete udalosť naznačí výskyt havárie lietadla. Počet úmrtí, ktoré si táto katastrofa vyžiadala, bude reprezentovaný súčinom dvoch náhodných premenných a , kde je koeficient zaťaženia lietadla, t. j. počet osôb na palube v čase nehody, a je to podiel úmrtí medzi týmito na palube.

Počet úmrtí je prezentovaný týmto spôsobom, keďže samostatné štatistiky pre množstvá a sú dostupnejšie ako štatistiky pre r.v. . Takže, aj keď je pravdepodobné, že pomer úmrtí medzi osobami na palube a počet osôb na palube spolu súvisia, ako prvé priblíženie možno predpokladať, že r.v. a nezávislý.

Súčty nezávislých náhodných premenných

V modeli individuálneho rizika sú platby poistného realizované poisťovňou reprezentované ako súčet platieb mnohým jednotlivcom.

Pripomeňme si dve metódy na určenie rozdelenia súčtu nezávislých náhodných veličín. Uvažujme najprv súčet dvoch náhodných premenných, ktorých vzorový priestor je znázornený na obr. 3.1.

Ryža. 2.3.1. Udalosť

Priamka a oblasť pod priamkou predstavujú udalosť. Preto je funkcia rozdeľovania r.v S má tvar (3.1)

Pre dve diskrétne nezáporné náhodné premenné môžeme použiť vzorec celkovej pravdepodobnosti a napísať (3.1) v tvare

Ak X A Y nezávislý, posledný súčet možno prepísať ako

(3.3)

Pravdepodobnostnú funkciu zodpovedajúcu tejto distribučnej funkcii možno nájsť pomocou vzorca

(3.4)

Pre spojité nezáporné náhodné premenné majú vzorce zodpovedajúce vzorcom (3.2), (3.3) a (3.4) tvar

Keď jedna alebo obe náhodné premenné X A Y majú zmiešané rozdelenie (čo je typické pre jednotlivé modely rizika), vzorce sú podobné, ale ťažkopádnejšie. Pre náhodné premenné, ktoré môžu mať aj záporné hodnoty, súčty a integrály vo vyššie uvedených vzorcoch preberajú všetky hodnoty y od do .

V teórii pravdepodobnosti sa operácia vo vzorcoch (3.3) a (3.6) nazýva konvolúcia dvoch distribučných funkcií a a označuje sa . Konvolučnú operáciu možno definovať aj pre pár pravdepodobnostných funkcií alebo funkcií hustoty pomocou vzorcov (3.4) a (3.7).

Na určenie rozdelenia súčtu viac ako dvoch náhodných premenných môžeme použiť iterácie konvolučného procesu. Pre , kde sú nezávislé náhodné premenné, označuje distribučnú funkciu r.v. a je distribučnou funkciou r.v. , dostaneme

Príklad 3.1 ilustruje tento postup pre tri diskrétne náhodné premenné.

Príklad 3.1. Náhodné premenné , , a sú nezávislé a majú distribúcie, ktoré sú určené stĺpcami (1), (2) a (3) nižšie uvedenej tabuľky.

Zapíšme si pravdepodobnostnú funkciu a distribučnú funkciu r.v.

Riešenie. Tabuľka používa zápis uvedený pred príkladom:

Stĺpce (1)-(3) obsahujú dostupné informácie.

Stĺpec (4) je odvodený zo stĺpcov (1) a (2) pomocou (3.4).

Stĺpec (5) je odvodený zo stĺpcov (3) a (4) použitím (3.4).

Definícia stĺpca (5) dopĺňa určenie pravdepodobnostnej funkcie pre r.v. . Jeho distribučná funkcia v stĺpci (8) je množina čiastkových súčtov stĺpca (5), začínajúc zhora.

Kvôli prehľadnosti sme zahrnuli stĺpec (6), distribučnú funkciu pre stĺpec (1), stĺpec (7), ktorý možno získať priamo zo stĺpcov (1) a (6) pomocou (2.3.3), a stĺpec (8). ), definované podobne pre stĺpce (3) a (7). Stĺpec (5) možno určiť zo stĺpca (8) postupným odčítaním.

Poďme ďalej zvážiť dva príklady so spojitými náhodnými premennými.

Príklad 3.2. Nech r.v. má rovnomerné rozloženie na intervale (0,2), a nech r.v. nezávisí od r.v. a má rovnomerné rozloženie v intervale (0,3). Definujme funkciu rozdelenia r.v.

Riešenie. Keďže rozvody r.v. a spojité, použijeme vzorec (3.6):

Potom

Ukážkový priestor r.v. a je znázornený na obr. 3.2. Obdĺžniková oblasť obsahuje všetky možné hodnoty páru a . Udalosť, ktorá nás zaujíma, je na obrázku znázornená pre päť hodnôt s.

Pre každú hodnotu priamka pretína os Y v bode s a priamka v bode . Hodnoty funkcií pre týchto päť prípadov sú opísané nasledujúcim vzorcom:

Ryža. 3.2. Konvolúcia dvoch rovnomerných rozdelení

Príklad 3.3. Uvažujme tri nezávislé r.v. . Pre r.v. má exponenciálne rozdelenie a . Nájdeme funkciu hustoty r.v. pomocou operácie konvolúcie.

Riešenie. Máme

Použitím vzorca (3.7) trikrát dostaneme

Iný spôsob určenia rozdelenia súčtu nezávislých náhodných veličín je založený na jedinečnosti generujúcej funkcie momentov, ktoré pre r.v. je určený vzťahom .

Ak je toto matematické očakávanie konečné pre každého t z nejakého otvoreného intervalu obsahujúceho počiatok, potom je jedinou generujúcou funkciou momentov rozdelenia r.v. v tom zmysle, že neexistuje iná funkcia ako , ktorá by bola generujúcou funkciou momentov rozdelenia r.v. .

Túto jedinečnosť možno využiť nasledovne: na súč

Ak je nezávislý, potom sa matematické očakávanie súčinu vo vzorci (3.8) rovná ..., teda

Nájdenie explicitného výrazu pre jediné rozdelenie, ktoré zodpovedá funkcii generujúcej moment (3.9), by dokončilo zistenie rozdelenia r.v. . Ak to nie je možné uviesť explicitne, môžete ho vyhľadať pomocou numerických metód.

Príklad 3.4. Zoberme si náhodné premenné z príkladu 3.3. Definujme funkciu hustoty r.v. , pomocou generujúcej funkcie momentov r.v. .

Riešenie. Podľa rovnosti (3.9), ktoré možno zapísať vo forme pomocou metódy rozkladu na jednoduché zlomky. Riešením je . Ale je generujúca funkcia momentov exponenciálneho rozdelenia s parametrom, takže funkcia hustoty r.v. vyzerá ako

Príklad 3.5. Pri štúdiu náhodných procesov bolo zavedené inverzné Gaussovo rozdelenie. Používa sa ako rozvod r.v. IN, výška platieb poistného. Funkcia hustoty a generujúca funkcia momentov inverzného Gaussovho rozdelenia sú dané vzorcami

Nájdeme rozdelenie r.v. , kde r.v. sú nezávislé a majú rovnaké inverzné Gaussove rozdelenia.

Riešenie. Pomocou vzorca (3.9) získame nasledujúci výraz pre generujúcu funkciu momentov r.v. :

Generujúca funkcia momentov zodpovedá jedinečnému rozdeleniu a môžeme overiť, že má inverzné Gaussovo rozdelenie s parametrami a .

Približné hodnoty pre rozdelenie súčtu

Centrálna limitná veta poskytuje metódu na nájdenie číselných hodnôt pre rozdelenie súčtu nezávislých náhodných premenných. Typicky je táto veta formulovaná pre súčet nezávislých a identicky rozdelených náhodných premenných, kde .

Pre ľubovoľné n je rozdelenie r.v kde = , má matematické očakávanie 0 a rozptyl 1. Ako je známe, postupnosť takýchto rozdelení (napr. n= 1, 2, ...) smeruje k štandardnému normálnemu rozdeleniu. Kedy n Táto veta sa vo veľkej miere uplatňuje na aproximáciu rozdelenia r.v. normálne rozdelenie s priemerom μ a rozptyl. Podobne aj rozdelenie sumy n náhodné premenné sú aproximované normálnym rozdelením s priemerom a rozptylom.

Účinnosť takejto aproximácie závisí nielen od počtu termínov, ale aj od blízkosti rozloženia termínov k normálu. Mnohé kurzy základnej štatistiky uvádzajú, že n musí byť aspoň 30, aby bola aproximácia primeraná.

Avšak jeden z programov na generovanie normálne rozdelených náhodných premenných používaných v simulačnom modelovaní implementuje normálnu náhodnú premennú ako priemer 12 nezávislých náhodných premenných rovnomerne rozdelených v intervale (0,1).

V mnohých individuálnych modeloch rizika nie sú náhodné premenné zahrnuté v sumách rovnomerne rozdelené. To bude ilustrované príkladmi v ďalšej časti.

Centrálna limitná veta platí aj pre postupnosti nerovnomerne rozdelených náhodných premenných.

Na ilustráciu niektorých aplikácií modelu individuálneho rizika používame na získanie numerických riešení normálnu aproximáciu rozdelenia súčtu nezávislých náhodných veličín. Ak , To

a ďalej, ak r.v. sú teda nezávislé

Pre danú aplikáciu potrebujeme iba:

• nájsť priemery a rozptyly náhodných premenných modelujúcich jednotlivé straty,
• spočítajte ich, aby ste získali priemer a rozptyl strát poisťovne ako celku,
• použite normálnu aproximáciu.

Nižšie uvádzame túto postupnosť akcií.

Prihlášky do poistenia

Táto časť ilustruje použitie normálnej aproximácie na štyroch príkladoch.

Príklad 5.1.Životná poisťovňa ponúka jednoročné poistenie smrti s výplatou 1 a 2 jednotiek jednotlivcom s pravdepodobnosťou úmrtia 0,02 alebo 0,01. V tabuľke nižšie je uvedený počet osôb nk v každej zo štyroch tried vytvorených v súlade s platbou b k a pravdepodobnosť vzniku poistnej udalosti q k:

k	q k	b k	n k
1	0,02	1	500
2	0,02	2	500
3	0,10	1	300
4	0,10	2	500

Poisťovňa chce od tejto skupiny 1800 jednotlivcov vybrať sumu rovnajúcu sa 95. percentilu rozdelenia celkového poistného plnenia pre túto skupinu. Okrem toho chce, aby podiel každej osoby na tejto sume bol úmerný očakávanému poistnému plneniu danej osoby.

Podiel osoby s číslom, ktorej priemerná platba sa rovná, by mal byť . Z požiadavky 95. percentilu vyplýva, že . Výška prekročenia, , je riziková prémia a nazýva sa relatívna riziková prémia. Poďme si to spočítať.

Riešenie. Hodnota je určená vzťahom = 0,95, kde S = Xi + X2 + ... + X 1800. Toto vyhlásenie o pravdepodobnosti je ekvivalentné nasledujúcemu:

V súlade s tým, čo bolo povedané o centrálnej limitnej vete v ods. 4 aproximujeme rozdelenie r.v. štandardné normálne rozdelenie a použijeme jeho 95. percentil, z ktorého dostaneme:

Pre štyri triedy, do ktorých sú poistenci rozdelení, dostávame tieto výsledky:

k	q k	b k	Priemer b k q k	Rozptyl b 2 k q k (1-q k)	n k
1	0,02	1	0,02	0,0196	500
2	0,02	2	0,04	0,0784	500
3	0,10	1	0,10	0,0900	300
4	0,10	2	0,20	0,3600	500

teda

Preto je relatívna riziková prémia

Príklad 5.2. Klienti autopoisťovne sa delia do dvoch tried:

Trieda	Číslo v triede	Pravdepodobnosť výskytu poistná udalosť	Rozdelenie platieb za poistenie, skrátené exponenciálne parametre distribúcia
k				L
1	500	0,10	1	2,5
2	2000	0,05	2	5,0

Skrátené exponenciálne rozdelenie je definované distribučnou funkciou

Ide o distribúciu zmiešaného typu s funkciou hustoty a „zhluk“ pravdepodobnostnej hmotnosti v bode L. Graf tejto distribučnej funkcie je znázornený na obr. 5.1.

Ryža. 5.1. Skrátené exponenciálne rozdelenie

Pravdepodobnosť, že celková suma platieb poistného presiahne sumu vybratú od poistencov, by sa tak ako doteraz mala rovnať 0,05. Budeme predpokladať, že relatívna riziková prémia by mala byť rovnaká v každej z dvoch uvažovaných tried. Poďme počítať.

Riešenie. Tento príklad je veľmi podobný predchádzajúcemu. Jediný rozdiel je v tom, že sumy poistného sú teraz náhodné veličiny.

Najprv získame výrazy pre momenty skráteného exponenciálneho rozdelenia. Toto bude prípravný krok na použitie vzorcov (2.25) a (2.26):

Použitím hodnôt parametrov uvedených v podmienke a použitím vzorcov (2.25) a (2.26) získame nasledujúce výsledky:

k	q k	μ k	σ 2 k	Priemer q k μ k	Rozptyl μ 2 k q k (1-q k)+σ 2 k q k	n k
1	0,10	0,9139	0,5828	0,09179	0,13411	500
2	0,05	0,5000	0,2498	0,02500	0,02436	2000

takže, S, celková výška platieb poistného, ​​má momenty

Podmienka pre definíciu zostáva rovnaká ako v príklade 5.1, a to:

Opätovným použitím aproximácie normálneho rozdelenia získame

Príklad 5.3. V portfóliu poisťovne je 16 000 zmlúv poistenia smrti na obdobie jedného roka podľa nasledujúcej tabuľky:

Pravdepodobnosť poistnej udalosti q na každého zo 16 000 klientov (predpokladá sa, že tieto udalosti sú navzájom nezávislé) je 0,02. Spoločnosť chce zaviesť vlastnú mieru zadržania. Pre každého poistenca je miera vlastného zadržania hodnotou, pod ktorú táto spoločnosť (postupujúca spoločnosť) vykonáva platby nezávisle, a platby presahujúce túto hodnotu sú kryté v rámci zmluvy o zaistení inou spoločnosťou (zaisťovateľom).

Napríklad, ak je výška spoluúčasti 200 000, potom si spoločnosť vyhradí krytie až do výšky 20 000 pre každého poistenca a nakúpi zaistenie na pokrytie rozdielu medzi poistným plnením a sumou 20 000 pre každého zo 4 500 poistencov, ktorých poistné plnenie presahuje sumu 20 000 .

Ako rozhodovacie kritérium si spoločnosť zvolila minimalizáciu pravdepodobnosti, že zadržané poistné udalosti plus suma zaplatená za zaistenie presiahne sumu 8 250 000 nákladov na zaistenie 0,025 na jednotku krytia (t. j. 125 % očakávanej sumy poistných platieb na jednotku je. 0,02).

Domnievame sa, že posudzované portfólio je uzavreté: nové poistné zmluvy uzatvorené v priebehu bežného roka nebudú brané do úvahy v popísanom rozhodovacom procese.

Čiastočné riešenie. Najprv urobme všetky výpočty, pričom ako jednotku platby zvolíme 10 000, predpokladajme, že c. V. S je suma platieb ponechaná na vlastný odpočet, má tento tvar:

K týmto poistným platbám ponechaným na vlastnú zrážku, S, sa pripočítava výška zaistného. Celkovo je celková výška krytia v rámci tejto schémy

Suma ponechaná na vlastný odpočet sa rovná

Čiže celková zaistená hodnota je 35 000-24 000=11 000 a náklady na zaistenie sú

To znamená, že s úrovňou vlastného zadržania rovnajúcou sa 2, poistné platby ponechané na vlastnom zadržaní plus náklady na zaistenie predstavujú . Rozhodovacie kritérium je založené na pravdepodobnosti, že tento súčet presiahne 825,

Pomocou normálneho rozdelenia zistíme, že táto hodnota je približne 0,0062.

Priemerné hodnoty poistných platieb za poistenie nadmernej škody, ako jeden z typov zaistenia, je možné aproximovať pomocou normálneho rozdelenia ako rozdelenia celkových poistných platieb.

Nech má celkové poistné X normálne rozdelenie so strednou hodnotou a rozptylom

Príklad 5.4. Zoberme si poistné portfólio, ako v príklade 5.3. Nájdime matematické očakávanie výšky poistných platieb podľa poistnej zmluvy o poistnom prekročení ak

a) neexistuje žiadne individuálne zaistenie a bezpodmienečná franšíza je stanovená na 7 500 000

(b) vlastná spoluúčasť je stanovená vo výške 20 000 pre jednotlivé poistné zmluvy a výška nepodmienenej spoluúčasti pre kmeň je 5 300 000,-.

Riešenie.

(a) V prípade neexistencie individuálneho zaistenia a prechodu na 10 000 ako peňažnú jednotku

použitie vzorca (5.2) dáva

čo predstavuje 43 770 v pôvodných jednotkách.

(b) V príklade 5.3 sme získali priemer a rozptyl celkového poistného na individuálnej odpočítateľnej úrovni 20 000, čo je 480 a 784, s použitím 10 000 ako jednotky. Takže = 28.

použitie vzorca (5.2) dáva

čo predstavuje 4140 v pôvodných jednotkách.