U praksi se često javlja potreba za pronalaženjem zakona raspodjele zbroja slučajnih varijabli.

Neka postoji sustav (X ʹ X 2) dva kontinuirana s. V. i njihov zbroj

Nađimo gustoću distribucije c. V. U. U skladu s općim rješenjem prethodnog stavka nalazimo područje ravnine gdje x+ x 2 (slika 9.4.1):

Diferencirajući ovaj izraz s obzirom na y, dobivamo p.r. nasumična varijabla Y = X + X 2:

Budući da je funkcija φ (x b x 2) = Xj + x 2 simetrična u odnosu na svoje argumente, tada

Ako sa. V. x I x 2 nezavisne, tada će formule (9.4.2) i (9.4.3) imati oblik:

U slučaju kada samostalni s. V. X x I X 2, govoriti o sastavu zakona distribucije. Proizvoditi sastav dva zakona raspodjele – to znači pronaći zakon raspodjele zbroja dva nezavisna s. c., raspoređeni prema tim zakonima. Za označavanje sastava zakona distribucije koristi se simbolički zapis

što u biti označava formule (9.4.4) ili (9.4.5).

Primjer 1. Razmatran je rad dva tehnička uređaja (TD). U početku TU radi, nakon kvara (kvar) uključuje se u rad TU 2. Vremena rada bez greške TU L TU 2 - X x I x 2 - neovisni i raspodijeljeni prema eksponencijalnim zakonima s parametrima A,1 i X 2. Stoga, vrijeme Y nesmetan rad tehničkog uređaja koji se sastoji od tehničke opreme! i TU 2, odredit će se formulom

Potrebno je pronaći p.r. nasumična varijabla Y, tj. sastav dva eksponencijalna zakona s parametrima i X 2.

Riješenje. Koristeći formulu (9.4.4) dobivamo (y > 0)

Ako postoji sastav dva eksponencijalna zakona s istim parametrima (?ts = x 2 = Y), tada u izrazu (9.4.8) dobivamo nesigurnost tipa 0/0, otkrivajući što dobivamo:

Uspoređujući ovaj izraz s izrazom (6.4.8), uvjeravamo se da sastav dva identična eksponencijalna zakona (?ts = x 2 = X) predstavlja Erlangov zakon drugog reda (9.4.9). Kada se kombiniraju dva eksponencijalna zakona s različitim parametrima X x i A-2 primiti generalizirao Erlangov zakon drugog reda (9.4.8). ?

Zadatak 1. Zakon raspodjele razlike dva s. V. Sustav s. V. (X i X 2) ima zglob p.r./(x b x 2). Pronađite p.r. njihove razlike Y= X - X 2.

Riješenje. Za sustav sa. V. (X b - X 2) itd. bit će/(x b - x 2), tj. razliku smo zamijenili zbrojem. Stoga je p.r. slučajna varijabla će imati oblik (vidi (9.4.2), (9.4.3)):

Ako S. V. X x iX 2 neovisni su, dakle

Primjer 2. Naći p.r. razlika između dva neovisna eksponencijalno raspodijeljena s. V. s parametrima X x I X 2.

Riješenje. Koristeći formulu (9.4.11) dobivamo

Riža. 9.4.2 Riža. 9.4.3

Slika 9.4.2 prikazuje p.r. g(y). Ako uzmemo u obzir razliku dva neovisna eksponencijalno raspodijeljena s. V. s istim parametrima (A-i= x 2 = A,), Da g(y) = /2 - već poznato

Laplaceov zakon (sl. 9.4.3). ?

Primjer 3. Naći zakon raspodjele zbroja dvaju neovisnih s. V. x I X 2, raspodijeljena prema Poissonovom zakonu s parametrima a x I a 2.

Riješenje. Nađimo vjerojatnost događaja (X x + x 2 = t) (t = 0, 1,

Stoga je s. V. Y= X x + x 2 raspodijeljena prema Poissonovom zakonu s parametrom a x2) - a x + a 2. ?

Primjer 4. Odredite zakon raspodjele zbroja dva nezavisna s. V. X x I X 2, raspoređeni prema binomnim zakonima s parametrima p x ri p 2, str odnosno.

Riješenje. Zamislimo s. V. X x kao:

Gdje X 1) - indikator događaja A Wuovo iskustvo:

Serije distribucije c. V. X,- ima oblik

Napravit ćemo sličan prikaz za s. V. X 2: gdje je X] 2) - indikator događaja A u y"-tom iskustvu:

Stoga,

gdje je X? 1)+(2) ako je indikator događaja A:

Dakle, pokazali smo da s. V. Testirajte količinu (u + n 2) indikatori događaja A, iz čega proizlazi da je s. V. ^ raspodijeljen prema binomnom zakonu s parametrima ( p x + str 2), r.

Imajte na umu da ako su vjerojatnosti R razlikuju se u različitim serijama eksperimenata, zatim kao rezultat zbrajanja dvaju neovisnih s. in., raspoređen prema binomnim zakonima, ispada c. c., raspodijeljena ne prema binomnom zakonu. ?

Primjeri 3 i 4 lako se generaliziraju na proizvoljan broj članova. Pri kombinaciji Poissonovih zakona s parametrima a b a 2, ..., a t opet dobivamo Poissonov zakon s parametrom a (t) = a x + a 2 + ... + i T.

Pri sastavljanju binomnih zakona s parametrima (str p str); (i 2, R) , (p t, p) opet dobivamo binomni zakon s parametrima (“(“), R), Gdje n (t) = n + n 2 + ... + p t.

Dokazali smo važna svojstva Poissonovog zakona i binomnog zakona: “svojstvo stabilnosti”. Zakon raspodjele naziva se održivo, ako sastav dvaju zakona iste vrste rezultira zakonom iste vrste (samo se parametri tog zakona razlikuju). U pododjeljku 9.7 pokazat ćemo da normalni zakon ima isto svojstvo stabilnosti.

Upotrijebimo gore navedenu opću metodu da riješimo jedan problem, naime, da pronađemo zakon distribucije zbroja dviju slučajnih varijabli. Postoji sustav dviju slučajnih varijabli (X,Y) s gustoćom distribucije f(x,y). Razmotrimo zbroj slučajnih varijabli X i Y: i pronađimo zakon raspodjele vrijednosti Z. Da bismo to učinili, izgradimo liniju na xOy ravnini, čija je jednadžba (Sl. 7). Ovo je ravna linija koja odsijeca segmente jednake z na osi. Ravna linija dijeli ravninu xOy na dva dijela; desno i iznad njega; lijevo i dolje.

Regija D u ovom slučaju je donji lijevi dio ravnine xOy, osjenčan na sl. 7. Prema formuli (16) imamo:

Diferencirajući ovaj izraz s obzirom na varijablu z uključenu u gornju granicu unutarnjeg integrala, dobivamo:

Ovo je opća formula za gustoću distribucije zbroja dviju slučajnih varijabli.

Zbog simetričnosti problema u odnosu na X i Y, možemo napisati drugu verziju iste formule:

koji je ekvivalentan prvom i može se koristiti umjesto njega.

Primjer sastava normalnih zakona. Razmotrimo dvije neovisne slučajne varijable X i Y, podložne normalnim zakonima:

Potrebno je izraditi kompoziciju ovih zakona, odnosno pronaći zakon raspodjele količine: .

Primijenimo opću formulu za kompoziciju zakona distribucije:

Ako otvorimo zagrade u eksponentu integranda i dovedemo slične članove, dobivamo:

Zamjenom ovih izraza u formulu s kojom smo se već susreli

nakon transformacija dobivamo:

a to nije ništa više od normalnog zakona sa središtem disperzije

i standardna devijacija

Do istog se zaključka može mnogo lakše doći korištenjem sljedećeg kvalitativnog razmišljanja.

Bez otvaranja zagrada i bez ikakvih transformacija u integrandu (17) odmah dolazimo do zaključka da je eksponent kvadratni trinom u odnosu na x oblika

gdje vrijednost z uopće nije uključena u koeficijent A, u koeficijent B je uključena na prvu potenciju, au koeficijent C je kvadrirana. Imajući to na umu i primjenjujući formulu (18), dolazimo do zaključka da je g(z) eksponencijalna funkcija, čiji je eksponent kvadratni trinom u odnosu na z, a gustoća distribucije; Ovaj tip odgovara normalnom zakonu. Dakle, mi; dolazimo do čisto kvalitativnog zaključka: zakon raspodjele vrijednosti z mora biti normalan. Da bismo pronašli parametre ovog zakona - i - koristit ćemo se teoremom zbrajanja matematičkih očekivanja i teoremom zbrajanja varijanci. Prema teoremu zbrajanja matematičkih očekivanja. Po teoremu zbrajanja varijanci ili iz čega slijedi formula (20).

Prelazeći sa standardnih odstupanja na vjerojatna odstupanja proporcionalna njima, dobivamo: .

Tako smo došli do sljedećeg pravila: kombiniranjem normalnih zakona ponovno se dobiva normalni zakon, a matematička očekivanja i varijance (ili kvadrati vjerojatnih odstupanja) se zbrajaju.

Pravilo za sastav normalnih zakona može se generalizirati na slučaj proizvoljnog broja neovisnih slučajnih varijabli.

Ako postoji n neovisnih slučajnih varijabli: podložne normalnim zakonima s centrima disperzije i standardnim odstupanjima, tada vrijednost također podliježe normalnom zakonu s parametrima

Umjesto formule (22) možete koristiti ekvivalentnu formulu:

Ako je sustav slučajnih varijabli (X, Y) distribuiran prema normalnom zakonu, ali su vrijednosti X, Y ovisne, tada to nije teško dokazati, kao i prije, na temelju opće formule (6.3. 1), da je zakon raspodjele vrijednosti također normalan zakon. Centri raspršenja i dalje se dodaju algebarski, ali za standardna odstupanja pravilo postaje složenije: , gdje je r korelacijski koeficijent vrijednosti X i Y.

Pri zbrajanju nekoliko ovisnih slučajnih varijabli, koje u cijelosti podliježu normalnom zakonu, ispada normalan i zakon raspodjele zbroja s parametrima

ili u vjerojatnim odstupanjima

gdje je korelacijski koeficijent veličina X i, X j, a zbrajanje se odnosi na sve različite kombinacije veličina u paru.

Uvjerili smo se u vrlo važno svojstvo normalnog zakona: slaganjem normalnih zakona opet se dobiva normalni zakon. To je takozvano "svojstvo stabilnosti". Zakon distribucije se naziva stabilnim ako sastav dvaju zakona ove vrste ponovno rezultira zakonom iste vrste. Gore smo pokazali da je normalni zakon stabilan. Vrlo malo zakona distribucije ima svojstvo stabilnosti. Zakon jednolike gustoće je nestabilan: spajanjem dvaju zakona jednolike gustoće u odsječcima od 0 do 1 dobili smo Simpsonov zakon.

Stabilnost normalnog zakona jedan je od bitnih uvjeta za njegovu široku primjenu u praksi. No, osim normalnog svojstvo stabilnosti imaju i neki drugi zakoni raspodjele. Značajka normalnog zakona je da kada je sastavljen dovoljno velik broj praktički proizvoljnih zakona raspodjele, ukupni zakon ispada onoliko bliži normalnom koliko je željeno, bez obzira na to kakvi su bili zakoni raspodjele članova. To se može ilustrirati, na primjer, sastavljanjem triju zakona jednolike gustoće u područjima od 0 do 1. Rezultirajući zakon raspodjele g(z) prikazan je na slici. 8. Kao što je vidljivo iz crteža, graf funkcije g(z) vrlo je sličan grafu normalnog zakona.

TEMA 3
	koncept funkcije raspodjele
	matematičko očekivanje i varijanca
	jednolika (pravokutna) raspodjela
	normalna (Gaussova) distribucija
	Distribucija
	t- Raspodjela studenata
	F- distribucija
	distribucija zbroja dviju slučajnih nezavisnih varijabli
	primjer: raspodjela zbroja dva nezavisna ravnomjerno raspoređene količine
	transformacija slučajne varijable
	primjer: harmonijska distribucija sa slučajnom fazom
	središnji granični teorem
	momenti slučajne varijable i njihova svojstva
NAMJENA CIKLUSA PREDAVANJA:		PRUŽITE POČETNE INFORMACIJE O VAŽNIM FUNKCIJAMA DISTRIBUCIJA I NJIHOVIM SVOJSTVIMA

FUNKCIJE DISTRIBUCIJE

Neka x(k)- neka slučajna varijabla. Zatim za bilo koju fiksnu vrijednost x slučajni događaj x(k) x se definira kao skup svih mogućih ishoda k takav da x(k) x. U smislu početne mjere vjerojatnosti specificirane na prostoru uzorka, distribucijska funkcijaP(x) definira se kao vjerojatnost pripisana skupu točaka k x(k) x. Imajte na umu da skup točaka k, zadovoljavajući nejednakost x(k) x, je podskup skupa točaka koje zadovoljavaju nejednakost x(k) . Formalno

Očito je da

Ako je raspon vrijednosti slučajne varijable kontinuiran, kao što se pretpostavlja u nastavku, tada gustoća vjerojatnosti(jednodimenzionalan) p(x) određena diferencijalnom relacijom

(4)

Stoga,

(6)

Kako bi se mogli razmatrati diskretni slučajevi, potrebno je pretpostaviti prisutnost delta funkcija u gustoći vjerojatnosti.

OČEKIVANA VRIJEDNOST

Neka je slučajna varijabla x(k) uzima vrijednosti iz raspona od -  do + . Prosječna vrijednost(inače, očekivana vrijednost ili očekivana vrijednost) x(k) izračunava se korištenjem odgovarajućeg graničnog prijelaza u zbroju umnožaka vrijednosti x(k) o vjerojatnosti nastanka ovih događaja:

(8)

Gdje E- matematičko očekivanje izraza u uglatim zagradama po indeksu k. Slično se određuje matematičko očekivanje realne jednoznačne kontinuirane funkcije g(x) od slučajne varijable x(k)

(9)

Gdje p(x)- gustoća vjerojatnosti slučajne varijable x(k). Konkretno, uzimanje g(x)=x, dobivamo srednji kvadrat x(k) :

(10)

Disperzijax(k) definiran kao srednji kvadrat razlike x(k) i njegova prosječna vrijednost,

tj. u ovom slučaju g(x)= I

A-priorat, standardna devijacija nasumična varijabla x(k), označeno , je pozitivan kvadratni korijen varijance. Standardna devijacija se mjeri u istim jedinicama kao i srednja vrijednost.

VAŽNE FUNKCIJE DISTRIBUCIJE

JEDNOKREDNA (PRAVOKUTNA) RASPOREDA.

Pretpostavimo da se eksperiment sastoji od slučajnog odabira točke iz intervala [ a,b] , uključujući njegove krajnje točke. U ovom primjeru, kao vrijednost slučajne varijable x(k) možete uzeti brojčanu vrijednost odabrane točke. Odgovarajuća funkcija distribucije ima oblik

Stoga je gustoća vjerojatnosti dana formulom

U ovom primjeru izračunavanje srednje vrijednosti i varijance pomoću formula (9) i (11) daje

NORMALNA (GAUSSOVA) DISTRIBUCIJA

, - aritmetička sredina, - standardna devijacija.

Vrijednost z koja odgovara vjerojatnosti P(z)=1-, tj.

CHI - KVADRAT DISTRIBUCIJE

Neka - n neovisnih slučajnih varijabli, od kojih svaka ima normalnu distribuciju s nultom sredinom i jediničnom varijancom.

Hi-kvadrat je slučajna varijabla s n stupnjeva slobode.

gustoća vjerojatnosti.

DF: 100 - postotni bodovi - raspodjele su označene, tj.

srednja vrijednost i varijanca su jednake

t - RASPODJELA UČENIKA

y, z - nezavisne slučajne varijable; y - ima - distribuciju, z - normalno je raspodijeljen s nultom sredinom i jediničnom varijancom.

veličina - ima t- Studentska distribucija s n stupnjeva slobode

DF: 100 - naznačena je postotna točka t - distribucije

Srednja vrijednost i varijanca su jednake

F - DISTRIBUCIJA

Neovisne slučajne varijable; has - raspodjela sa stupnjevima slobode; raspodjela sa stupnjevima slobode. Slučajna vrijednost:

,

F je distribuirana slučajna varijabla s i stupnjevima slobode.

,

DF: 100 - postotni bod:

Srednja vrijednost i varijanca su jednake:

RASPODJELA IZNOSA

DVIJE SLUČAJNE VARIJABLE

Neka x(k) I y(k)– slučajne varijable koje imaju zajedničku gustoću vjerojatnosti p(x,y). Nađimo gustoću vjerojatnosti zbroja slučajnih varijabli

Na fiksnom x imamo y= z– x. Zato

Na fiksnom z vrijednosti x pokrenite interval od – do +. Zato

(37)

iz čega je jasno da za izračunavanje potrebne gustoće zbroja morate znati izvornu zajedničku gustoću vjerojatnosti. Ako x(k) I y(k) su nezavisne slučajne varijable koje imaju gustoće i, prema tome, tada i

(38)

PRIMJER: ZBROJ DVIJE NEOVISNE, JEDNOLIKO RASPODIJELJENE SLUČAJNE VARIJABLE.

Neka dvije slučajne nezavisne varijable imaju gustoće oblika

U drugim slučajevima Nađimo gustoću vjerojatnosti p(z) njihovog zbroja z= x+ y.

Gustoća vjerojatnosti Za tj. za Stoga, x ne prelazi z. Osim toga, nije jednak nuli za Prema formuli (38), nalazimo da

Ilustracija:

Gustoća vjerojatnosti zbroja dviju neovisnih, jednoliko raspoređenih slučajnih varijabli.

NALUČAJNA KONVERZIJA

VRIJEDNOSTI

Neka x(t)- slučajna varijabla s gustoćom vjerojatnosti p(x), Pusti to g(x) je jednoznačna realna kontinuirana funkcija od x. Razmotrimo najprije slučaj kada inverzna funkcija x(g) je također jednoznačna kontinuirana funkcija od g. Gustoća vjerojatnosti p(g), koji odgovara slučajnoj varijabli g(x(k)) = g(k), može se odrediti gustoćom vjerojatnosti p(x) nasumična varijabla x(k) i izvedenica dg/dx pod pretpostavkom da derivacija postoji i da je različita od nule, naime:

(12)

Stoga, u granici kod dg/dx#0

(13)

Koristeći ovu formulu, ona slijedi s desne strane umjesto varijable x zamijeniti odgovarajuću vrijednost g.

Razmotrimo sada slučaj kada inverzna funkcija x(g) vrijedi n-vrijedna funkcija od g, Gdje n- cijeli broj i svih n vrijednosti su jednako vjerojatne. Zatim

(14)

PRIMJER:

HARMONIČKA FUNKCIJA DISTRIBUCIJA.

Harmonijska funkcija s fiksnom amplitudom x i učestalost f bit će slučajna varijabla ako je njezin početni fazni kut  =  (k)- slučajna vrijednost. Konkretno, neka t fiksni i jednaki t o, a harmonijska slučajna varijabla neka ima oblik

Hajdemo to pretvarati  (k) ima jednoliku gustoću vjerojatnosti p( ) ljubazan

Nađimo gustoću vjerojatnosti p(x) nasumična varijabla x(k).

U ovom primjeru izravna funkcija x( ) jedinstveno, i inverzna funkcija  (x) dvoznamenkasti

Definicija. Slučajne varijable X 1, X 2, ..., X n nazivamo nezavisnima ako su za bilo koji x 1, x 2, ..., x n događaji neovisni

(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.

Iz definicije odmah proizlazi da za nezavisne slučajne varijable X 1, X 2, …, X n distribucijska funkcija n-dimenzionalna slučajna varijabla x = X 1, X 2, …, X n jednak umnošku funkcija distribucije slučajnih varijabli X 1, X 2, …, X n

F(x 1 , x 2, …, x n) = F(x 1)F(x 2)…F(x n). (1)

Razlikujmo jednakost (1) n puta x 1 , x 2, …, x n, dobivamo

str(x 1 , x 2, …, x n) = str(x 1)str(x 2)…str(x n). (2)

Može se dati još jedna definicija neovisnosti slučajnih varijabli.

Ako zakon distribucije jedne slučajne varijable ne ovisi o tome koje su moguće vrijednosti uzele druge slučajne varijable, tada se takve slučajne varijable nazivaju kolektivno neovisnima.

Na primjer, dva su kupljena srećke razna pitanja. Neka x– iznos dobitka na prvom listiću, Y– iznos dobitka na drugom listiću. Slučajne varijable x I Y– neovisno, budući da dobitak jednog listića neće utjecati na zakon distribucije drugog. Ali ako su karte istog izdanja, onda x I Y– ovisan.

Dvije slučajne varijable nazivaju se neovisnima ako se zakon distribucije jedne od njih ne mijenja ovisno o tome koje moguće vrijednosti poprima druga varijabla.

Teorem 1(konvolucija) ili “teorem o gustoći zbroja 2 slučajne varijable.”

Neka x = (X 1;X 2) – nezavisna kontinuirana dvodimenzionalna slučajna varijabla, Y = X 1+ X 2. Zatim gustoća distribucije

Dokaz. Može se pokazati da ako , onda

Gdje x = (x 1 , x 2 , …, X n). Onda ako x = (x 1 , x 2), zatim funkcija distribucije Y = x 1 + x 2 može se definirati na sljedeći način (slika 1) –

Sukladno definiciji, funkcija je gustoća distribucije slučajne varijable Y = X 1 + X 2, tj.

p y (t) = što je trebalo dokazati.

Izvedimo formulu za pronalaženje distribucije vjerojatnosti zbroja dviju neovisnih diskretnih slučajnih varijabli.

Teorem 2. Neka x 1 , x 2 – nezavisne diskretne slučajne varijable,

Dokaz. Zamislimo događaj A x = {x 1 +x 2 = x) kao zbroj nekompatibilnih događaja

A x = å( x 1 = x ja; x 2 = x– x i).

Jer x 1 , x 2 – nezavisna dakle P(x 1 = x ja; x 2 = x– x i) = P(x 1 = x i) P(x 2 = x – x i), zatim

P(A x) = P(å( x 1 = x ja; x 2 = x – x i)) = å( P(x 1 = x i) P(x 2 = x – x i)),

Q.E.D.

Primjer 1. Neka x 1 , x 2 – nezavisne slučajne varijable koje imaju normalnu distribuciju s parametrima N(0;1); x 1 , x 2 ~ N(0;1).

Nađimo gustoću raspodjele njihovog zbroja (označavamo x 1 = x, Y = x 1 +x 2)

Lako je vidjeti da je funkcija integranda gustoća distribucije normalne slučajne varijable s parametrima A= , , tj. integral je jednak 1.

Funkcija p y(t) je normalna gustoća distribucije s parametrima a = 0, s = . Dakle, zbroj neovisnih normalnih slučajnih varijabli s parametrima (0,1) ima normalnu distribuciju s parametrima (0,), tj. Y = x 1 + x 2 ~ N(0;).

Primjer 2. Neka su tada dane dvije diskretne neovisne slučajne varijable koje imaju Poissonovu distribuciju

Gdje k, m, n = 0, 1, 2, …,¥.

Prema teoremu 2 imamo:

Primjer 3. Neka x 1, x 2 – nezavisne slučajne varijable s eksponencijalnom distribucijom. Nađimo gustoću Y= x 1 +x 2 .

Označimo x = x 1. Budući da x 1, x 2 su neovisne slučajne varijable, tada ćemo koristiti "teorem o konvoluciji"

Može se pokazati da ako je zbroj ( Xi imaju eksponencijalnu distribuciju s parametrom l), tada Y=ima distribuciju koja se zove Erlangova distribucija ( n– 1) nalog. Taj je zakon dobiven modeliranjem rada telefonskih centrala u prvim radovima iz teorije čekanja.

U matematičkoj statistici često se koriste zakoni raspodjele slučajnih varijabli koje su funkcije neovisnih normalnih slučajnih varijabli. Razmotrimo tri zakona koja se najčešće susreću pri modeliranju slučajnih pojava.

Teorem 3. Ako su slučajne varijable nezavisne x 1, ..., X n, onda su funkcije ovih slučajnih varijabli također neovisne Y 1 = f 1 (x 1), ...,Yn = fn(X n).

Pearsonova distribucija(od 2 -distribucija). Neka x 1, ..., X n– nezavisne normalne slučajne varijable s parametrima A= 0, s = 1. Kreirajmo slučajnu varijablu

Tako,

Može se pokazati da gustoća za x > 0 ima oblik , gdje je k n određeni koeficijent za ispunjenje uvjeta. Kako je n ® ¥ Pearsonova distribucija teži normalnoj distribuciji.

Neka je X 1, X 2, …, Xn ~ N(a,s), tada su slučajne varijable ~ N(0,1). Prema tome, slučajna varijabla ima c 2 distribuciju s n stupnjeva slobode.

Pearsonova distribucija je tabelarno prikazana i koristi se u raznim primjenama matematičke statistike (na primjer, kod testiranja hipoteze o konzistentnosti zakona distribucije).

Donositelj odluka može koristiti osiguranje kako bi smanjio negativan financijski učinak određenih vrsta slučajnih događaja.

Ali ovo razmatranje je vrlo općenito, budući da donositelj odluka može značiti ili pojedinca koji traži zaštitu od štete na imovini, ušteđevini ili prihodu, ili organizaciju koja traži zaštitu od iste vrste štete.

Zapravo, takva bi se organizacija mogla pokazati Osiguravajuće društvo, koja traži načine da se zaštiti od financijskih gubitaka zbog prevelikog broja šteta od osiguranja koje se javljaju prema pojedinom klijentu ili njegovom portfelju osiguranja. Ova vrsta zaštite naziva se reosiguranje.

Razmotrimo jedan od dva modela (naime individualni model rizika) široko se koristi u određivanju stopa osiguranja i pričuva, kao iu reosiguranju.

Označimo sa S iznos slučajnih gubitaka osiguravajućeg društva za neki dio njegovih rizika. U ovom slučaju S je slučajna varijabla za koju moramo odrediti distribuciju vjerojatnosti. Povijesno gledano, za raspodjele r.v. S postojala su dva skupa postulata. Individualni model rizika određuje S na sljedeći način:

gdje je r.v. označava gubitke uzrokovane predmetom osiguranja s br ja, A n označava ukupan broj predmeta osiguranja.

Obično se pretpostavlja da su to neovisne slučajne varijable, budući da su u tom slučaju matematički izračuni jednostavniji i nisu potrebne informacije o prirodi odnosa između njih. Drugi model je model kolektivnog rizika.

Individualni model rizika koji se razmatra ne odražava promjene u vrijednosti novca tijekom vremena. Ovo je učinjeno radi pojednostavljenja modela, pa se zato naslov članka odnosi na kratki vremenski interval.

Razmotrit ćemo samo zatvorene modele, tj. one u kojima broj predmeta osiguranja n u formuli (1.1) poznata je i fiksirana na samom početku vremenskog intervala koji se razmatra. Uvedemo li pretpostavke o prisutnosti migracija iz ili u sustav osiguranja, dobivamo otvoreni model.

Slučajne varijable koje opisuju pojedinačna plaćanja

Najprije se prisjetimo osnovnih odredbi životnog osiguranja.

Kod osiguranja za slučaj smrti u trajanju od jedne godine osiguravatelj se obvezuje isplatiti iznos b, ako ugovaratelj osiguranja umre u roku od godine dana od dana sklapanja ugovora o osiguranju, a ne plaća ništa ako ugovaratelj osiguranja doživi ovu godinu.

Vjerojatnost da se osigurani slučaj dogodi tijekom određene godine označena je s .

Opisivanje slučajne varijable isplate osiguranja, ima distribuciju koja se može odrediti ili funkcijom vjerojatnosti

(2.1)

odnosno odgovarajuća funkcija distribucije

(2.2)

Iz formule (2.1) i iz definicije momenata dobivamo

(2.4)

Ove se formule mogu dobiti i pisanjem x kao

gdje je konstantna vrijednost koja se plaća u slučaju smrti i slučajna varijabla koja ima vrijednost 1 nakon smrti i 0 u suprotnom slučaju.

Dakle, i , te srednja vrijednost i varijanca r.v. jednaki su i respektivno, a srednja vrijednost i varijanca r.v. jednaki su i , što se podudara s gore napisanim formulama.

Slučajna varijabla s rasponom vrijednosti (0,1) naširoko se koristi u aktuarskim modelima.

U udžbenicima teorije vjerojatnosti naziva se indikator, Bernoulli slučajan veličina ili binomna slučajna varijabla u jednom probnom dizajnu.

Nazvat ćemo je indikator zbog kratkoće, a također i zato što ukazuje na pojavu ili neodržavanje dotičnog događaja.

Prijeđimo na potragu za općenitijim modelima u kojima je vrijednost isplate osiguranja također slučajna varijabla te se u promatranom vremenskom intervalu može dogoditi nekoliko osiguranih događaja.

Zdravstveno osiguranje, osiguranje automobila i druge imovine te osiguranje od odgovornosti odmah daju mnoge primjere. Generalizirajuću formulu (2.5) stavljamo

gdje je slučajna varijabla koja opisuje plaćanja osiguranja u razmatranom vremenskom intervalu, r.v. označava ukupan iznos plaćanja u ovom intervalu i r.v. je pokazatelj za događaj da se dogodio barem jedan osigurani slučaj.

Budući da je pokazatelj ovakvog događaja, r.v. bilježi prisutnost () ili nedostatak () osiguranih slučajeva u ovom vremenskom intervalu, ali ne i broj osiguranih slučajeva u njemu.

Vjerojatnost ćemo i dalje označavati s .

Razmotrimo nekoliko primjera i odredimo distribuciju slučajnih varijabli u određenom modelu.

Razmotrimo prvo osiguranje od smrti u trajanju od godinu dana uz nadoplatu ako smrt nastupi kao posljedica nesretnog slučaja.

Da budemo sigurni, pretpostavimo da će iznos isplate biti 50.000, ako je smrt nastupila kao posljedica nesreće, ako se smrt dogodi zbog drugih uzroka.

Pretpostavimo da je za osobu određene dobi, zdravstvenog stanja i profesije vjerojatnost smrti od nesreće tijekom godine 0,0005, a vjerojatnost smrti od drugih uzroka 0,0020. U obliku formule to izgleda ovako:

Zbrajanjem svih mogućih vrijednosti dobivamo

,

Uvjetna raspodjela c. V. pod uvjetom da ima oblik

Razmotrimo sada osiguranje od sudara (odšteta koja se plaća vlasniku automobila za štetu na njegovom automobilu) s bezuvjetnim odbitkom od 250 i maksimalnom isplatom od 2000.

Radi jasnoće, pretpostavimo da je vjerojatnost da se dogodi jedan osigurani slučaj tijekom promatranog vremenskog razdoblja za pojedinca 0,15, a da je vjerojatnost više od jednog sudara nula:

, .

Nerealna pretpostavka da se u jednom razdoblju ne može dogoditi više od jednog osiguranog slučaja je napravljena radi pojednostavljenja raspodjele r.v. .

Napuštamo ovu pretpostavku u sljedećem odjeljku nakon što pogledamo distribuciju višestrukih zahtjeva.

Budući da se radi o iznosu isplata osiguravatelja, a ne o šteti na automobilu, možemo uzeti u obzir dvije karakteristike, i .

Prvo, događaj uključuje one sudare u kojima je šteta manja od bezuvjetne franšize, koja iznosi 250.

Drugo, raspodjela r.v. imat će „grumen“ vjerojatnosne mase na točki maksimalnog iznosa isplata osiguranja, koji je jednak 2000.

Pretpostavimo da je masa vjerojatnosti koncentrirana u ovoj točki 0,1. Nadalje pretpostavimo da se vrijednost isplata osiguranja u rasponu od 0 do 2000 može modelirati kontinuiranom distribucijom s funkcijom gustoće proporcionalnom (U praksi, kontinuirana krivulja koja je odabrana da predstavlja distribuciju naknada od osiguranja rezultat je studija o razinama naknada u prethodnom razdoblju.)

Sažimajući ove pretpostavke o uvjetnoj raspodjeli r.v. pod uvjetom , dolazimo do distribucije mješovitog tipa, koja ima pozitivnu gustoću u rasponu od 0 do 2000 i neku "grupu" vjerojatnosne mase u točki 2000. To je ilustrirano grafom na Sl. 2.2.1.

Distribucijska funkcija ove uvjetne distribucije izgleda ovako:

sl.2.1. Funkcija raspodjele r.v. U stanju I = 1

Izračunajmo matematičko očekivanje i varijancu u primjeru koji razmatramo s Auto osiguranje dva puta.

Prvo ispisujemo raspodjelu r.v. te ga koristiti za izračunavanje i . Označavajući funkcijom raspodjele r.v. , imamo

Za x<0

Ovo je mješovita distribucija. Kao što je prikazano na sl. 2.2, ima i diskretni ("grupa" vjerojatnosne mase u točki 2000) i kontinuirani dio. Takva funkcija raspodjele odgovara kombinaciji funkcije vjerojatnosti

Riža. 2.2. Funkcija raspodjele r.v. X = IB

i funkcije gustoće

Konkretno, i . Zato .

Postoji niz formula koje povezuju momente slučajnih varijabli s uvjetnim matematičkim očekivanjima. Za matematičko očekivanje i za varijancu ove formule imaju oblik

(2.10)

(2.11)

Razumije se da su izrazi na lijevim stranama ovih jednakosti izračunati izravno iz r.v. . Pri računanju izraza na desnim stranama, naime i , koristi se uvjetna raspodjela r.v. pri fiksnoj vrijednosti r.v. .

Ovi izrazi su dakle funkcije r.v. , a njihove momente možemo izračunati pomoću distribucije r.v. .

Uvjetne raspodjele koriste se u mnogim aktuarskim modelima, a to omogućuje izravnu primjenu gornjih formula. U našem modelu. S obzirom na r.v. u kvaliteti i r.v. kao , dobivamo

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

i razmotrite uvjetna matematička očekivanja

(2.16)

(2.17)

Formule (2.16) i (2.17) definirane su kao funkcija r.v. , što se može napisati kao sljedeća formula:

Od tada, dakle (2.21)

Jer imamo i (2.22)

Formule (2.21) i (2.22) mogu se kombinirati: (2.23)

Dakle, (2.24)

Zamjenom (2.21), (2.20) i (2.24) u (2.12) i (2.13), dobivamo

Primijenimo dobivene formule za izračun na primjeru osiguranja automobila (slika 2.2). Budući da funkcija gustoće r.v. Zadani uvjet izražava se formulom

i P(B=2000|I=1)= 0,1, imamo

Konačno, vjerujući q= 0,15, iz formula (2.25) i (2.26) dobivamo sljedeće jednakosti:

Kako bismo opisali drugačiju situaciju osiguranja, možemo predložiti druge modele za r.v. .

Primjer: Model za broj smrtnih slučajeva uslijed zrakoplovnih nesreća

Kao primjer, razmotrite model za broj smrtnih slučajeva uzrokovanih zrakoplovnim nesrećama tijekom jednogodišnjeg razdoblja rada zračnog prijevoznika.

Možemo započeti sa slučajnom varijablom koja opisuje broj smrtnih slučajeva za jedan let, a zatim zbrojiti takve slučajne varijable za sve letove u godini.

Za jedan let, događaj će ukazivati ​​na pojavu pada aviona. Broj smrtnih slučajeva koje je ova katastrofa izazvala bit će predstavljen umnoškom dviju slučajnih varijabli i , gdje je faktor opterećenja zrakoplova, tj. broj osoba u zrakoplovu u vrijeme nesreće, a je udio smrtnih slučajeva među onima na brodu.

Broj umrlih je prikazan na ovaj način, budući da su zasebne statistike za količine i dostupnije od statistike za r.v. . Dakle, iako je udio smrtnih slučajeva među osobama na brodu i broj osoba na brodu vjerojatno povezan, kao prva aproksimacija može se pretpostaviti da je r.v. i neovisan.

Zbrojevi nezavisnih slučajnih varijabli

U individualnom modelu rizika, isplate osiguranja koje vrši osiguravajuće društvo predstavljene su kao zbroj isplata mnogim pojedincima.

Prisjetimo se dvije metode za određivanje distribucije zbroja nezavisnih slučajnih varijabli. Razmotrimo prvo zbroj dviju slučajnih varijabli, čiji je prostor uzorka prikazan na slici. 3.1.

Riža. 2.3.1. Događaj

Ravna linija i površina ispod ravne crte predstavljaju događaj. Stoga je funkcija raspodjele r.v S ima oblik (3.1)

Za dvije diskretne nenegativne slučajne varijable, možemo koristiti formulu ukupne vjerojatnosti i napisati (3.1) u obliku

Ako x I Y neovisno, posljednji zbroj može se prepisati kao

(3.3)

Funkcija vjerojatnosti koja odgovara ovoj funkciji distribucije može se pronaći pomoću formule

(3.4)

Za kontinuirane nenegativne slučajne varijable, formule koje odgovaraju formulama (3.2), (3.3) i (3.4) imaju oblik

Kada jedna ili obje slučajne varijable x I Y imaju mješovitu distribuciju (što je tipično za pojedinačne modele rizika), formule su slične, ali glomaznije. Za slučajne varijable koje također mogu imati negativne vrijednosti, zbrojevi i integrali u gornjim formulama preuzimaju se preko svih vrijednosti y od do .

U teoriji vjerojatnosti operacija u formulama (3.3) i (3.6) naziva se konvolucija dviju funkcija distribucije i označava se s . Operacija konvolucije također se može definirati za par funkcija vjerojatnosti ili funkcija gustoće pomoću formula (3.4) i (3.7).

Da bismo odredili distribuciju zbroja više od dvije slučajne varijable, možemo koristiti iteracije procesa konvolucije. Za , gdje su nezavisne slučajne varijable, označava funkciju distribucije r.v., a je funkcija distribucije r.v. , dobit ćemo

Primjer 3.1 ilustrira ovaj postupak za tri diskretne slučajne varijable.

Primjer 3.1. Slučajne varijable , , i neovisne su i imaju raspodjele koje su određene stupcima (1), (2) i (3) donje tablice.

Zapišimo funkciju vjerojatnosti i funkciju distribucije r.v.

Riješenje. Tablica koristi notaciju uvedenu prije primjera:

Stupci (1)-(3) sadrže dostupne podatke.

Stupac (4) izveden je iz stupaca (1) i (2) pomoću (3.4).

Stupac (5) izveden je iz stupaca (3) i (4) pomoću (3.4).

Definicija stupca (5) dovršava određivanje funkcije vjerojatnosti za r.v. . Njegova funkcija distribucije u stupcu (8) je skup parcijalnih zbrojeva stupca (5), počevši od vrha.

Radi jasnoće, uključili smo stupac (6), funkciju distribucije za stupac (1), stupac (7), koji se može dobiti izravno iz stupaca (1) i (6) pomoću (2.3.3), i stupac (8 ), definirana na sličan način za stupce (3) i (7). Stupac (5) može se odrediti iz stupca (8) sekvencijalnim oduzimanjem.

Prijeđimo na razmatranje dvaju primjera s kontinuiranim slučajnim varijablama.

Primjer 3.2. Neka r.v. ima jednoliku raspodjelu na intervalu (0,2), a neka je r.v. ne ovisi o r.v. i ima jednoliku raspodjelu u intervalu (0,3). Definirajmo funkciju raspodjele r.v.

Riješenje. Budući da raspodjele r.v. i kontinuirano koristimo formulu (3.6):

Zatim

Prostor uzorka r.v. i ilustrirano je na sl. 3.2. Pravokutno područje sadrži sve moguće vrijednosti para i . Događaj koji nas zanima, , prikazan je na slici za pet vrijednosti s.

Za svaku vrijednost ravna linija siječe os Y u točki s a pravac u točki . Vrijednosti funkcije za ovih pet slučajeva opisane su sljedećom formulom:

Riža. 3.2. Konvolucija dviju uniformnih distribucija

Primjer 3.3. Razmotrimo tri neovisna r.v. . Za r.v. ima eksponencijalnu distribuciju i . Nađimo funkciju gustoće r.v. , koristeći operaciju konvolucije.

Riješenje. Imamo

Koristeći formulu (3.7) tri puta, dobivamo

Druga metoda za određivanje distribucije zbroja nezavisnih slučajnih varijabli temelji se na jedinstvenosti generirajuće funkcije momenata, koja za r.v. određena je relacijom .

Ako je ovo matematičko očekivanje konačno za sve t iz nekog otvorenog intervala koji sadrži ishodište, tada je jedina generirajuća funkcija momenata distribucije r.v. u smislu da nema druge funkcije osim , koja bi bila generirajuća funkcija momenata raspodjele r.v. .

Ova se jedinstvenost može koristiti na sljedeći način: za zbroj

Ako je neovisno, tada je matematičko očekivanje umnoška u formuli (3.8) jednako ..., Dakle

Pronalaženje eksplicitnog izraza za jedinu distribuciju koja odgovara funkciji generiranja momenta (3.9) dovršilo bi pronalaženje r.v. . Ako ga nije moguće eksplicitno naznačiti, onda ga možete tražiti pomoću numeričkih metoda.

Primjer 3.4. Razmotrimo slučajne varijable iz primjera 3.3. Definirajmo funkciju gustoće r.v. , koristeći generirajuću funkciju momenata r.v. .

Riješenje. Prema jednakosti (3.9), koji se može napisati u obliku metodom rastavljanja na proste razlomke. Rješenje je . No je li generirajuća funkcija momenata eksponencijalne razdiobe s parametrom, pa je funkcija gustoće r.v. izgleda kao

Primjer 3.5. Pri proučavanju slučajnih procesa uvedena je inverzna Gaussova distribucija. Koristi se kao distribucija r.v. U, iznos isplata osiguranja. Funkcija gustoće i generirajuća funkcija momenata inverzne Gaussove distribucije dane su formulama

Nađimo raspodjelu r.v. , gdje je r.v. neovisne su i imaju iste inverzne Gaussove distribucije.

Riješenje. Pomoću formule (3.9) dobivamo sljedeći izraz za generirajuću funkciju momenata r.v. :

Generirajuća funkcija momenata odgovara jedinstvenoj distribuciji, a možemo provjeriti da ima inverznu Gaussovu distribuciju s parametrima i .

Aproksimacije za distribuciju zbroja

Središnji granični teorem daje metodu za pronalaženje numeričkih vrijednosti za distribuciju zbroja neovisnih slučajnih varijabli. Obično se ovaj teorem formulira za zbroj neovisnih i identično raspodijeljenih slučajnih varijabli, gdje .

Za bilo koji n, distribucija r.v gdje je = , ima matematičko očekivanje 0 i varijancu 1. Kao što je poznato, niz takvih distribucija (za n= 1, 2, ...) teži standardnoj normalnoj distribuciji. Kada n Ovaj se teorem u velikoj mjeri primjenjuje za aproksimaciju distribucije r.v. normalna distribucija sa srednjom μ i disperzija. Slično, raspodjela iznosa n slučajne varijable su aproksimirane normalnom distribucijom sa srednjom i varijancom.

Učinkovitost takve aproksimacije ne ovisi samo o broju članova, već io blizini distribucije članova normalnoj. Mnogi tečajevi osnovne statistike navode da n mora biti najmanje 30 da bi aproksimacija bila razumna.

Međutim, jedan od programa za generiranje normalno raspodijeljenih slučajnih varijabli koji se koristi u simulacijskom modeliranju implementira normalnu slučajnu varijablu kao prosjek 12 neovisnih slučajnih varijabli ravnomjerno raspoređenih u intervalu (0,1).

U mnogim individualnim modelima rizika, slučajne varijable uključene u iznose nisu jednako raspoređene. Ovo će biti ilustrirano primjerima u sljedećem odjeljku.

Središnji granični teorem također se primjenjuje na nizove nejednako raspoređenih slučajnih varijabli.

Za ilustraciju nekih primjena individualnog modela rizika koristimo normalnu aproksimaciju distribucije zbroja neovisnih slučajnih varijabli kako bismo dobili numerička rješenja. Ako , To

i dalje, ako je r.v. neovisni su, dakle

Za predmetnu aplikaciju potrebno nam je samo:

• pronaći srednje vrijednosti i varijance slučajnih varijabli modelirajući pojedinačne gubitke,
• zbrajati ih kako bi se dobio prosjek i varijanca gubitaka osiguravajućeg društva u cjelini,
• koristiti normalnu aproksimaciju.

U nastavku ilustriramo ovaj slijed radnji.

Prijave na osiguranje

Ovaj odjeljak ilustrira korištenje normalne aproksimacije s četiri primjera.

Primjer 5.1. Tvrtka za životno osiguranje nudi jednogodišnju policu osiguranja od smrti s isplatama od 1 i 2 jedinice pojedincima s vjerojatnošću smrti od 0,02 ili 0,01. Donja tablica prikazuje broj osoba nk u svakom od četiri razreda formirana sukladno plaćanju b k i vjerojatnosti nastanka osiguranog slučaja q k:

k	q k	b k	n k
1	0,02	1	500
2	0,02	2	500
3	0,10	1	300
4	0,10	2	500

Osiguravajuće društvo želi prikupiti od ove skupine od 1.800 pojedinaca iznos jednak 95. percentilu raspodjele ukupnih naknada osiguranja za ovu skupinu. Osim toga, ona želi da udio svake osobe u tom iznosu bude proporcionalan očekivanoj dobiti od osiguranja te osobe.

Udio osobe s brojem čija je prosječna plaća jednaka trebao bi biti . Iz zahtjeva za 95. percentilom slijedi da . Iznos viška, , je premija rizika i naziva se relativna premija rizika. Hajdemo izračunati.

Riješenje. Vrijednost je određena relacijom = 0,95, gdje je S = X 1 + X 2 + ... + X 1800. Ova izjava o vjerojatnosti je ekvivalentna sljedećem:

U skladu s onim što je rečeno o središnjem graničnom teoremu u Pogl. 4, aproksimiramo r.v. standardnu ​​normalnu distribuciju i koristimo njezin 95. percentil, iz čega dobivamo:

Za četiri klase u koje su osiguranici podijeljeni dobivamo sljedeće rezultate:

k	q k	b k	Prosjek b k q k	Varijanca b 2 k q k (1-q k)	n k
1	0,02	1	0,02	0,0196	500
2	0,02	2	0,04	0,0784	500
3	0,10	1	0,10	0,0900	300
4	0,10	2	0,20	0,3600	500

Tako,

Stoga je relativna premija rizika

Primjer 5.2. Klijenti društva za osiguranje automobila dijele se u dvije klase:

Klasa	Broj u razredu	Vjerojatnost pojavljivanja osigurani slučaj	Distribucija plaćanja osiguranja, skraćeni eksponencijalni parametri distribucija
k				L
1	500	0,10	1	2,5
2	2000	0,05	2	5,0

Skraćena eksponencijalna razdioba definirana je funkcijom razdiobe

Ovo je distribucija mješovitog tipa s funkcijom gustoće , i "grumen" vjerojatnosne mase u točki L. Graf ove funkcije distribucije prikazan je na sl. 5.1.

Riža. 5.1. Skraćena eksponencijalna distribucija

Kao i dosad, vjerojatnost da ukupni iznos isplata osiguranja premaši iznos naplaćen od osiguranika trebala bi biti jednaka 0,05. Pretpostavit ćemo da bi relativna premija rizika trebala biti ista u svakoj od dvije razmatrane klase. Izračunajmo.

Riješenje. Ovaj primjer je vrlo sličan prethodnom. Jedina razlika je u tome što su iznosi osiguranja sada slučajne varijable.

Prvo dobivamo izraze za momente krnje eksponencijalne distribucije. Ovo će biti pripremni korak za primjenu formula (2.25) i (2.26):

Korištenjem vrijednosti parametara navedenih u uvjetu i primjenom formula (2.25) i (2.26), dobivamo sljedeće rezultate:

k	q k	μ k	σ 2 k	Prosjek q k μ k	Varijanca μ 2 k q k (1-q k)+σ 2 k q k	n k
1	0,10	0,9139	0,5828	0,09179	0,13411	500
2	0,05	0,5000	0,2498	0,02500	0,02436	2000

Tako, S, ukupni iznos plaćanja osiguranja, ima trenutaka

Uvjet za definiciju ostaje isti kao u primjeru 5.1, naime,

Ponovno koristeći aproksimaciju normalne distribucije, dobivamo

Primjer 5.3. Portfelj osiguravajućeg društva uključuje 16.000 ugovora o osiguranju od smrti na razdoblje od jedne godine prema sljedećoj tablici:

Vjerojatnost osiguranog slučaja q za svakog od 16 000 klijenata (pretpostavlja se da su ti događaji međusobno neovisni) je 0,02. Tvrtka želi uspostaviti vlastitu stopu zadržavanja. Za svakog osiguranika razina vlastitog samopridržaja je vrijednost ispod koje ovo društvo (cedent) samostalno vrši isplate, a isplate iznad te vrijednosti pokrivene su ugovorom o reosiguranju od strane drugog društva (reosiguratelja).

Na primjer, ako je razina franšize 200.000, tada tvrtka rezervira pokriće do 20.000 za svakog osiguranika i kupuje reosiguranje kako bi pokrila razliku između odštetnog zahtjeva i iznosa od 20.000 za svakog od 4.500 osiguranika čije naknade od osiguranja premašuju iznos 20 000 .

Kao kriterij odlučivanja, tvrtka odabire minimizirati vjerojatnost da će zadržani potraživanja od osiguranja plus iznos plaćeni za reosiguranje premašiti iznos od 8.250.000 Troškovi reosiguranja 0,025 po jedinici pokrića (tj. 125% očekivanog iznosa plaćanja osiguranja po jedinici je 0,02).

Smatramo da je razmatrani portfelj zatvoren: novi ugovori o osiguranju sklopljeni tijekom tekuće godine neće biti uzeti u obzir u opisanom procesu donošenja odluka.

Djelomično rješenje. Provedimo najprije sve izračune, odabirući 10 000 kao jedinicu plaćanja, pretpostavimo da je c. V. S je iznos uplata preostalih po vlastitom odbitku, ima sljedeći oblik:

Na ove isplate osiguranja ostavljene po vlastitom odbitku, S, dodaje se iznos premija reosiguranja. Ukupno, ukupni iznos pokrića prema ovoj shemi je

Iznos koji preostaje po vlastitom odbitku jednak je

Dakle, ukupna reosigurana vrijednost je 35.000-24.000=11.000, a trošak reosiguranja je

To znači da s razinom odbitka jednakom 2, plaćanja osiguranja preostala nakon odbitka plus trošak reosiguranja iznose . Kriterij odluke temelji se na vjerojatnosti da će ovaj ukupni broj premašiti 825,

Koristeći normalnu distribuciju, nalazimo da je ta vrijednost približno 0,0062.

Prosječne vrijednosti isplata osiguranja za osiguranje viška osiguranja, kao jednu od vrsta reosiguranja, mogu se aproksimirati korištenjem normalne raspodjele kao raspodjele ukupnih isplata osiguranja.

Neka ukupna plaćanja osiguranja X imaju normalnu distribuciju sa sredinom i varijancom

Primjer 5.4. Razmotrimo portfelj osiguranja, kao u primjeru 5.3. Nađimo matematičko očekivanje iznosa isplata osiguranja prema ugovoru o osiguranju od viška štete ako

(a) ne postoji pojedinačno reosiguranje i bezuvjetna franšiza je postavljena na 7.500.000

(b) vlastita franšiza je utvrđena u iznosu od 20.000 za pojedinačne ugovore o osiguranju, a iznos bezuvjetne franšize za portfelj je 5.300.000.

Riješenje.

(a) U nedostatku pojedinačnog reosiguranja i prijelazu na 10.000 kao novčanu jedinicu

primjena formule (5.2) daje

što u izvornim jedinicama iznosi 43.770.

(b) U primjeru 5.3 dobili smo srednju vrijednost i varijancu ukupnih premija na pojedinačnoj odbitnoj razini od 20 000 na 480 odnosno 784, koristeći 10 000 kao jedinicu. Dakle =28.

primjena formule (5.2) daje

što u izvornim jedinicama iznosi 4140.