En la práctica, suele ser necesario encontrar la ley de distribución de una suma de variables aleatorias.

Que haya un sistema (X ü X 2) dos s continuos. v. y su suma

Encontremos la densidad de distribución c. v. U. De acuerdo con la solución general del párrafo anterior, encontramos la región del plano donde x+ x 2 (figura 9.4.1):

Derivando esta expresión con respecto a y, obtenemos p.r. variable aleatoria Y = X + X 2:

Dado que la función φ (x b x 2) = Xj + x 2 es simétrica con respecto a sus argumentos, entonces

Si con. v. X Y X 2 son independientes, entonces las fórmulas (9.4.2) y (9.4.3) tomarán la forma:

En el caso de que los independientes s. v. Xx Y X 2, hablar sobre la composición de las leyes de distribución. Producir composición dos leyes de distribución: esto significa encontrar la ley de distribución de la suma de dos s independientes. c., distribuidos según estas leyes. Para denotar la composición de las leyes de distribución, se utiliza la notación simbólica.

que esencialmente denota las fórmulas (9.4.4) o (9.4.5).

Ejemplo 1. Se considera el funcionamiento de dos dispositivos técnicos (TD). Al principio, la TU funciona; después de su falla (falla), se incluye en el funcionamiento de la TU 2. Tiempos de funcionamiento sin fallos TU L TU 2 - Xx Y X 2 - son independientes y se distribuyen según leyes exponenciales con parámetros A,1 y X2. Por lo tanto, el tiempo Y¡Funcionamiento sin problemas de un dispositivo técnico compuesto por equipos técnicos! y TU 2, vendrá determinado por la fórmula

Se requiere encontrar p.r. variable aleatoria Y, es decir, la composición de dos leyes exponenciales con parámetros y X2.

Solución. Usando la fórmula (9.4.4) obtenemos (y > 0)

Si existe una composición de dos leyes exponenciales con los mismos parámetros (?ts = X 2 = Y), entonces en la expresión (9.4.8) obtenemos una incertidumbre de tipo 0/0, revelando lo cual obtenemos:

Comparando esta expresión con la expresión (6.4.8), estamos convencidos de que la composición de dos leyes exponenciales idénticas (?ts = X 2 = X) representa la ley de segundo orden de Erlang (9.4.9). Al combinar dos leyes exponenciales con diferentes parámetros Xx y A-2 reciben Ley generalizada de segundo orden de Erlang (9.4.8). ?

Problema 1. La ley de distribución de la diferencia de dos s. v. Sistema s. v. (X y X2) tiene una articulación p.r./(x b x 2). Encuentra p.r. sus diferencias Y=X - X2.

Solución. Para sistema con. v. (X b - X 2) etc. será/(x b - x2), es decir, reemplazamos la diferencia con la suma. Por lo tanto, p.r. variable aleatoria Tendrá la forma (ver (9.4.2), (9.4.3)):

Si Con. v. X x iX 2 son independientes, entonces

Ejemplo 2. Encuentra p.r. la diferencia entre dos s independientes distribuidas exponencialmente. v. con parametros Xx Y X2.

Solución. Usando la fórmula (9.4.11) obtenemos

Arroz. 9.4.2 Arroz. 9.4.3

La Figura 9.4.2 muestra un p.r. gramo(y). Si consideramos la diferencia de dos s independientes distribuidas exponencialmente. v. con los mismos parametros (Ai= X 2 = A,), Eso gramo(y) = /2 - ya estoy familiarizado

Ley de Laplace (figura 9.4.3). ?

Ejemplo 3. Encuentra la ley de distribución de la suma de dos s independientes. v. X Y X 2, distribuido según la ley de Poisson con parámetros una x Y un 2.

Solución. Encontremos la probabilidad del evento. (Xx + X 2 = t) (t = 0, 1,

Por tanto, el art. v. Y=Xx + X 2 distribuido según la ley de Poisson con parámetro a x2) - a x + a 2. ?

Ejemplo 4. Encuentre la ley de distribución de la suma de dos s independientes. v. Xx Y X 2, distribuido según leyes binomiales con parámetros p x r p 2, p respectivamente.

Solución. Imaginemos s. v. Xx como:

Dónde X1) - indicador de evento A La experiencia de Wu:

Serie de distribución c. v. X,- tiene la forma

Haremos una representación similar para s. v. X2: donde X] 2) - indicador de evento A en y"-ésima experiencia:

Por eso,

¿Dónde está X? 1)+(2) si indicador de evento A:

Así, hemos demostrado que el s. v. prueba la cantidad (u + n 2) indicadores de eventos A, de lo que se deduce que el s. v. ^distribuido según la ley binomial con parámetros ( px + pág. 2), r.

Tenga en cuenta que si las probabilidades R son diferentes en diferentes series de experimentos, luego como resultado de la suma de dos s independientes. pulg., distribuido según leyes binomiales, resulta c. c., distribuido no según la ley binomial. ?

Los ejemplos 3 y 4 se generalizan fácilmente a un número arbitrario de términos. Al combinar las leyes de Poisson con parámetros a b a 2, ..., en nuevamente obtenemos la ley de Poisson con el parámetro un (t) = un x + un 2 + ... + y T.

Al componer leyes binomiales con parámetros. (pppp); (yo 2, r) , (pt, p) nuevamente obtenemos una ley binomial con parámetros (“(“), R), Dónde norte (t) = norte + norte 2 + ... + p t.

Hemos demostrado propiedades importantes de la ley de Poisson y de la ley del binomio: la “propiedad de estabilidad”. La ley de distribución se llama sostenible, si de la composición de dos leyes del mismo tipo resulta una ley del mismo tipo (sólo difieren los parámetros de esta ley). En la subsección 9.7 mostraremos que la ley normal tiene la misma propiedad de estabilidad.

Utilicemos el método general descrito anteriormente para resolver un problema, a saber, encontrar la ley de distribución de la suma de dos variables aleatorias. Existe un sistema de dos variables aleatorias (X,Y) con densidad de distribución f(x,y). Consideremos la suma de las variables aleatorias X e Y: y encontremos la ley de distribución del valor Z. Para ello, construiremos una recta en el plano xOy, cuya ecuación es (Fig. 7). Esta es una línea recta que corta segmentos iguales a z en los ejes. Una línea recta divide el plano xOy en dos partes; a la derecha y encima; hacia la izquierda y hacia abajo.

La región D en este caso es la parte inferior izquierda del plano xOy, sombreada en la Fig. 7. Según la fórmula (16) tenemos:

Derivando esta expresión respecto de la variable z incluida en el límite superior de la integral interna, obtenemos:

Esta es la fórmula general para la densidad de distribución de la suma de dos variables aleatorias.

Por razones de simetría del problema respecto de X e Y, podemos escribir otra versión de la misma fórmula:

que es equivalente al primero y puede usarse en su lugar.

Un ejemplo de la composición de leyes normales. Consideremos dos variables aleatorias independientes X e Y, sujetas a leyes normales:

Se requiere producir una composición de estas leyes, es decir, encontrar la ley de distribución de la cantidad: .

Apliquemos la fórmula general para la composición de las leyes de distribución:

Si abrimos los corchetes en el exponente del integrando y acercamos términos similares, obtenemos:

Sustituyendo estas expresiones en la fórmula que ya hemos encontrado

después de las transformaciones obtenemos:

y esto no es más que una ley normal con un centro de dispersión

y desviación estándar

Se puede llegar a la misma conclusión mucho más fácilmente utilizando el siguiente razonamiento cualitativo.

Sin abrir paréntesis y sin hacer ninguna transformación en el integrando (17), inmediatamente llegamos a la conclusión de que el exponente es un trinomio cuadrado con respecto a x de la forma

donde el valor z no está incluido en absoluto en el coeficiente A, en el coeficiente B está incluido a la primera potencia y en el coeficiente C está elevado al cuadrado. Teniendo esto en cuenta y aplicando la fórmula (18), llegamos a la conclusión de que g(z) es una función exponencial, cuyo exponente es un trinomio cuadrado con respecto a z, y la densidad de distribución; Este tipo corresponde a la ley normal. Así, nosotros; llegamos a una conclusión puramente cualitativa: la ley de distribución del valor z debe ser normal. Para encontrar los parámetros de esta ley, y, usaremos el teorema de suma de expectativas matemáticas y el teorema de suma de varianzas. Según el teorema de la suma de expectativas matemáticas. Por el teorema de suma de varianzas o del que se sigue la fórmula (20).

Pasando de las desviaciones estándar a las desviaciones probables proporcionales a ellas, obtenemos: .

Así, llegamos a la siguiente regla: al combinar leyes normales, se obtiene nuevamente una ley normal y se suman las expectativas matemáticas y las varianzas (o cuadrados de desviaciones probables).

La regla para la composición de las leyes normales puede generalizarse al caso de un número arbitrario de variables aleatorias independientes.

Si hay n variables aleatorias independientes: sujetas a leyes normales con centros de dispersión y desviaciones estándar, entonces el valor también está sujeto a la ley normal con parámetros

En lugar de la fórmula (22), puedes utilizar una fórmula equivalente:

Si un sistema de variables aleatorias (X, Y) se distribuye según una ley normal, pero los valores X, Y son dependientes, entonces no es difícil demostrarlo, como antes, basándose en la fórmula general (6.3. 1), que la ley de distribución de un valor es también una ley normal. Los centros de dispersión todavía se suman algebraicamente, pero para las desviaciones estándar la regla se vuelve más compleja: , donde r es el coeficiente de correlación de los valores X e Y.

Al sumar varias variables aleatorias dependientes, que en su totalidad están sujetas a la ley normal, la ley de distribución de la suma también resulta ser normal con los parámetros.

o en probables desviaciones

donde es el coeficiente de correlación de las cantidades X i, X j, y la suma se aplica a todas las diferentes combinaciones de cantidades por pares.

Nos hemos convencido de una propiedad muy importante de la ley normal: con la composición de leyes normales se obtiene nuevamente una ley normal. Esta es la llamada "propiedad de estabilidad". Una ley de distribución se llama estable si la composición de dos leyes de este tipo da como resultado una ley del mismo tipo. Mostramos arriba que la ley normal es estable. Muy pocas leyes de distribución tienen la propiedad de estabilidad. La ley de densidad uniforme es inestable: combinando dos leyes de densidad uniforme en secciones de 0 a 1, obtuvimos la ley de Simpson.

La estabilidad del derecho normal es una de las condiciones esenciales para su uso generalizado en la práctica. Sin embargo, además de la normal, algunas otras leyes de distribución también tienen la propiedad de estabilidad. Una característica de la ley normal es que cuando se compone un número suficientemente grande de leyes de distribución prácticamente arbitrarias, la ley total resulta ser tan cercana a lo normal como se desea, independientemente de cuáles fueran las leyes de distribución de los términos. Esto se puede ilustrar, por ejemplo, componiendo las tres leyes de densidad uniforme en áreas de 0 a 1. La ley de distribución resultante g(z) se muestra en la Fig. 8. Como puede verse en el dibujo, la gráfica de la función g(z) es muy similar a la gráfica de la ley normal.

TEMA 3
	concepto de función de distribución
	expectativa matemática y varianza
	distribución uniforme (rectangular)
	distribución normal (gaussiana)
	Distribución
	t- Distribución de estudiantes
	F- distribución
	distribución de la suma de dos variables aleatorias independientes
	ejemplo: distribución de la suma de dos independientes cantidades distribuidas uniformemente
	transformación de variable aleatoria
	ejemplo: distribución armónica con fase aleatoria
	teorema del límite central
	momentos de una variable aleatoria y sus propiedades
OBJETIVO DEL CICLO CONFERENCIAS:		BRINDAR INFORMACIÓN INICIAL SOBRE LAS FUNCIONES IMPORTANTES DE LAS DISTRIBUCIONES Y SUS PROPIEDADES

FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN

Dejar x(k)- alguna variable aleatoria. Entonces para cualquier valor fijo x el evento aleatorio x(k) X se define como el conjunto de todos los resultados posibles k tal que x(k)x. En términos de la medida de probabilidad inicial especificada en el espacio muestral, función de distribuciónP(x) se define como la probabilidad asignada a un conjunto de puntos k x(k)x. Tenga en cuenta que el conjunto de puntos k, satisfaciendo la desigualdad x(k)x, es un subconjunto del conjunto de puntos que satisfacen la desigualdad x(k) . Formalmente

Es obvio que

Si el rango de valores de una variable aleatoria es continuo, como se supone a continuación, entonces densidad de probabilidad(unidimensional) pag(x) determinado por la relación diferencial

(4)

Por eso,

(6)

Para poder considerar casos discretos, es necesario asumir la presencia de funciones delta en la densidad de probabilidad.

VALOR ESPERADO

Deja que la variable aleatoria x(k) toma valores del rango de -  a + . Valor promedio(de lo contrario, valor esperado o valor esperado) x(k) se calcula utilizando el paso límite correspondiente en la suma de productos de valores x(k) sobre la probabilidad de que ocurran estos eventos:

(8)

Dónde mi- expectativa matemática de la expresión entre corchetes por índice k. La expectativa matemática de una función continua real de un solo valor se determina de manera similar gramo(X) de una variable aleatoria x(k)

(9)

Dónde pag(x)- densidad de probabilidad de una variable aleatoria x(k). En particular, tomando g(x)=x, obtenemos media cuadrática x(k) :

(10)

Dispersiónx(k) definido como el cuadrado medio de la diferencia x(k) y su valor medio,

es decir, en este caso g(x)= Y

Priorato, Desviación Estándar variable aleatoria x(k), denotado , es la raíz cuadrada positiva de la varianza. La desviación estándar se mide en las mismas unidades que la media.

FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN IMPORTANTES

DISTRIBUCIÓN UNIFORME (RECTANGULAR).

Supongamos que el experimento consiste en seleccionar aleatoriamente un punto del intervalo [ a, b] , incluidos sus puntos finales. En este ejemplo, como valor de la variable aleatoria x(k) puedes tomar el valor numérico del punto seleccionado. La función de distribución correspondiente tiene la forma

Por lo tanto, la densidad de probabilidad viene dada por la fórmula

En este ejemplo, calcular la media y la varianza usando las fórmulas (9) y (11) da

DISTRIBUCIÓN NORMAL (GAUSSIANA)

, - media aritmética, - desviación estándar.

El valor de z correspondiente a la probabilidad P(z)=1-, es decir

CHI - DISTRIBUCIÓN CUADRADA

Dejar - n variables aleatorias independientes, cada una de las cuales tiene una distribución normal con media cero y varianza unitaria.

Chi-cuadrado es una variable aleatoria con n grados de libertad.

densidad de probabilidad.

DF: 100 - puntos porcentuales - se designan distribuciones, es decir

la media y la varianza son iguales

t - DISTRIBUCIONES DE ESTUDIANTES

y, z - variables aleatorias independientes; y - tiene - distribución, z - tiene distribución normal con media cero y varianza unitaria.

tamaño - tiene t- Distribución de estudiantes con n grados de libertad.

DF: 100 - punto porcentual de t - se indica la distribución

La media y la varianza son iguales.

F - DISTRIBUCIÓN

Variables aleatorias independientes; tiene - distribución con grados de libertad; distribución con grados de libertad. Valor aleatorio:

,

F es una variable aleatoria distribuida con y grados de libertad.

,

DF: 100 - punto porcentual:

La media y la varianza son iguales:

DISTRIBUCIÓN DEL IMPORTE

DOS VARIABLES ALEATORIAS

Dejar x(k) Y y(k)– variables aleatorias que tienen una densidad de probabilidad conjunta p(x,y). Encontremos la densidad de probabilidad de la suma de variables aleatorias.

en fijo X tenemos y= z– x. Es por eso

en fijo z valores X ejecute el intervalo de – a +. Es por eso

(37)

de lo cual queda claro que para calcular la densidad suma requerida, es necesario conocer la densidad de probabilidad conjunta original. Si x(k) Y y(k) son variables aleatorias independientes que tienen densidades y, en consecuencia, entonces y

(38)

EJEMPLO: LA SUMA DE DOS VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES DISTRIBUIDAS UNIFORMEMENTE.

Sean dos variables aleatorias independientes que tengan densidades de la forma

En otros casos Encontremos la densidad de probabilidad p(z) de su suma z= x+ y.

Densidad de probabilidad Para es decir, para Por eso, X no excede z. Además, no es igual a cero para Según la fórmula (38), encontramos que

Ilustración:

Densidad de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes distribuidas uniformemente.

CONVERSIÓN ALEATORIA

VALORES

Dejar x(t)- variable aleatoria con densidad de probabilidad pag(x), Déjalo ir gramo(x)- función continua real de un solo valor de X. Consideremos primero el caso en el que la función inversa x(g) también es una función continua de un solo valor de gramo. Densidad de probabilidad p(g), correspondiente a la variable aleatoria g(x(k)) = g(k), puede ser determinado por la densidad de probabilidad pag(x) variable aleatoria x(k) y derivado dg/dx bajo el supuesto de que la derivada existe y es distinta de cero, a saber:

(12)

Por lo tanto, en el límite en dg/dx#0

(13)

Usando esta fórmula, sigue en su lado derecho en lugar de la variable X sustituir el valor correspondiente gramo.

Consideremos ahora el caso en el que la función inversa x(g) es válida norte función valorada de gramo, Dónde norte- un número entero y todos los n valores son igualmente probables. Entonces

(14)

EJEMPLO:

DISTRIBUCIÓN DE LA FUNCIÓN ARMÓNICA.

Función armónica con amplitud fija. X y frecuencia F será una variable aleatoria si su ángulo de fase inicial  =  (k)- valor aleatorio. En particular, dejemos t fijo e igual t oh, y dejemos que la variable aleatoria armónica tenga la forma

pretendamos que  (k) tiene una densidad de probabilidad uniforme pag( ) amable

Encontremos la densidad de probabilidad. pag(x) variable aleatoria x(k).

En este ejemplo la función directa X( ) unívocamente y la función inversa  (X) dos dígitos

Definición. Las variables aleatorias X 1, X 2, ..., X n se llaman independientes si para cualquier x 1, x 2, ..., x n los eventos son independientes

(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.

De la definición se deduce inmediatamente que para variables aleatorias independientes X1, x2, …, xn función de distribución norte-variable aleatoria dimensional X = X1, x2, …, xn igual al producto de las funciones de distribución de variables aleatorias X1, x2, …, xn

F(x1 , x2, …, xn) = F(x1)F(x2)…F(xn). (1)

Diferenciamos la igualdad (1) norte veces x1 , x2, …, xn, obtenemos

pag(x1 , x2, …, xn) = pag(x1)pag(x2)…pag(xn). (2)

Se puede dar otra definición de la independencia de las variables aleatorias.

Si la ley de distribución de una variable aleatoria no depende de los posibles valores que hayan tomado otras variables aleatorias, entonces dichas variables aleatorias se denominan colectivamente independientes.

Por ejemplo, se compraron dos Boletos de lotería varios temas. Dejar X– el importe de las ganancias del primer billete, Y– el importe de las ganancias del segundo billete. Variables aleatorias X Y Y– independiente, ya que ganar un boleto no afectará la ley de distribución del otro. Pero si los billetes son del mismo tema, entonces X Y Y– dependiente.

Dos variables aleatorias se llaman independientes si la ley de distribución de una de ellas no cambia en función de los posibles valores que tome la otra variable.

Teorema 1(convolución) o “teorema sobre la densidad de la suma de 2 variables aleatorias”.

Dejar X = (X1;x2) – variable aleatoria bidimensional continua independiente, Y = X1+ x2. Entonces la densidad de distribución

Prueba. Se puede demostrar que si , entonces

Dónde X = (X 1 , X 2 , …, xn). Entonces sí X = (X 1 , X 2), entonces la función de distribución Y = X 1 + X 2 se puede definir de la siguiente manera (Fig. 1) –

De acuerdo con la definición, la función es la densidad de distribución de la variable aleatoria Y = X 1 + X 2, es decir

p y (t) = que era lo que había que demostrar.

Derivemos una fórmula para encontrar la distribución de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias discretas independientes.

Teorema 2. Dejar X 1 , X 2 – variables aleatorias discretas independientes,

Prueba. Imaginemos un evento una x = {X 1 +X 2 = X) como una suma de eventos incompatibles

una x = å( X 1 = X i ; X 2 = X– X i).

Porque X 1 , X 2 – independiente entonces PAG(X 1 = X i ; X 2 = X– X yo) = PAG(X 1 = X i) PAG(X 2 = x-x entonces yo

PAG(una x) = PAG(å( X 1 = X i ; X 2 = x-xi)) = å( PAG(X 1 = xyo) PAG(X 2 = x-x i)),

Q.E.D.

Ejemplo 1. Dejar X 1 , X 2 – variables aleatorias independientes que tienen una distribución normal con parámetros norte(0;1); X 1 , X 2 ~ norte(0;1).

Encontremos la densidad de distribución de su suma (denotamos X 1 = X, Y = X 1 +X 2)

Es fácil ver que la función integrando es la densidad de distribución de una variable aleatoria normal con parámetros A= , , es decir la integral es igual a 1.

Función p y(t) es la densidad de distribución normal con parámetros a = 0, s = . Por tanto, la suma de variables aleatorias normales independientes con parámetros (0,1) tiene una distribución normal con parámetros (0,), es decir Y = X 1 + X 2 ~ norte(0;).

Ejemplo 2. Sean dadas dos variables aleatorias independientes discretas que tienen una distribución de Poisson, entonces

Dónde k, metro, norte = 0, 1, 2,…,¥.

Por el teorema 2 tenemos:

Ejemplo 3. Dejar X 1, X 2 – variables aleatorias independientes con distribución exponencial. Encontremos la densidad Y= X 1 +X 2 .

denotemos X = X 1. Desde X 1, X 2 son variables aleatorias independientes, entonces usaremos el “teorema de convolución”

Se puede demostrar que si dada la suma ( Xi tiene una distribución exponencial con parámetro l), entonces Y=tiene una distribución llamada distribución Erlang ( norte– 1) orden. Esta ley se obtuvo modelando el funcionamiento de las centrales telefónicas en los primeros trabajos sobre la teoría de las colas.

En estadística matemática, a menudo se utilizan las leyes de distribución de variables aleatorias, que son funciones de variables aleatorias normales independientes. Consideremos las tres leyes que se encuentran con mayor frecuencia al modelar fenómenos aleatorios.

Teorema 3. Si las variables aleatorias son independientes X 1, ..., xn, entonces las funciones de estas variables aleatorias también son independientes Y 1 = F 1 (X 1), ...,Sí = fn(xn).

Distribución de Pearson(de 2 -distribución). Dejar X 1, ..., xn– variables aleatorias normales independientes con parámetros A= 0, s = 1. Creemos una variable aleatoria

De este modo,

Se puede demostrar que la densidad para x > 0 tiene la forma , donde k n es un cierto coeficiente para cumplir la condición. Como n ® ¥ la distribución de Pearson tiende a la distribución normal.

Sea X 1, X 2,…, Xn ~ N(a,s), luego variables aleatorias ~ N(0,1). Por tanto, la variable aleatoria tiene una distribución c 2 con n grados de libertad.

La distribución de Pearson se tabula y se utiliza en diversas aplicaciones de la estadística matemática (por ejemplo, al probar la hipótesis sobre la coherencia de la ley de distribución).

Quien toma decisiones puede utilizar un seguro para reducir el impacto financiero adverso de ciertos tipos de eventos aleatorios.

Pero esta consideración es muy general, ya que quien toma la decisión podría ser un individuo que busca protección contra daños a su propiedad, ahorros o ingresos, o una organización que busca protección contra el mismo tipo de daño.

De hecho, tal organización puede llegar a ser Compañía de seguros, que busca formas de protegerse de pérdidas financieras debidas a demasiadas reclamaciones de seguros que se produzcan contra un cliente individual o su cartera de seguros. Este tipo de protección se llama reaseguro.

Consideremos uno de dos modelos (a saber modelo de riesgo individual) ampliamente utilizado para determinar las tasas y reservas de seguros, así como en reaseguros.

Denotemos por S el monto de las pérdidas accidentales de la compañía de seguros por alguna parte de sus riesgos. En este caso S es una variable aleatoria para la cual debemos determinar una distribución de probabilidad. Históricamente, para distribuciones de r.v. S Había dos conjuntos de postulados. El modelo de riesgo individual determina S de la siguiente manera:

donde r.v. significa las pérdidas causadas por el objeto del seguro con el número i, A norte denota el número total de objetos de seguro.

Se suele suponer que se trata de variables aleatorias independientes, ya que en este caso los cálculos matemáticos son más sencillos y no se requiere información sobre la naturaleza de la relación entre ellas. El segundo modelo es el modelo de riesgo colectivo.

El modelo de riesgo individual considerado no refleja cambios en el valor del dinero a lo largo del tiempo. Esto se hace para simplificar el modelo, y es por eso que el título del artículo hace referencia a un intervalo de tiempo corto.

Consideraremos solo modelos cerrados, es decir. aquellos en los que el número de objetos de seguro norte en la fórmula (1.1) se conoce y se fija al comienzo del intervalo de tiempo considerado. Si introducimos supuestos sobre la presencia de migración desde o hacia el sistema de seguros, obtenemos un modelo abierto.

Variables aleatorias que describen pagos individuales

En primer lugar, recordemos las disposiciones básicas relativas a los seguros de vida.

Al asegurar en caso de fallecimiento por un período de un año, el asegurador se compromete a pagar el importe b, si el tomador del seguro fallece dentro de un año a partir de la fecha de celebración del contrato de seguro, y no paga nada si el tomador del seguro vive este año.

La probabilidad de que ocurra un evento asegurado durante un año específico se indica mediante .

Variable aleatoria que describe pagos de seguro, tiene una distribución que puede especificarse mediante una función de probabilidad

(2.1)

o la función de distribución correspondiente

(2.2)

De la fórmula (2.1) y de la definición de momentos obtenemos

(2.4)

Estas fórmulas también se pueden obtener escribiendo X como

donde es un valor constante que se paga en caso de fallecimiento y es una variable aleatoria que toma el valor 1 en caso de fallecimiento y 0 en caso contrario.

Así, y , y la media y varianza de r.v. son iguales a y respectivamente, y el valor medio y la varianza del r.v. son iguales a y , que coincide con las fórmulas escritas anteriormente.

Una variable aleatoria con un rango de valores (0,1) se utiliza ampliamente en los modelos actuariales.

En los libros de texto sobre teoría de la probabilidad se llama indicador, Bernoulli al azar tamaño o variable aleatoria binomial en un diseño de ensayo único.

la llamaremos indicador por razones de brevedad, y también porque indica la ocurrencia o no ocurrencia del evento en cuestión.

Pasemos a la búsqueda de modelos más generales en los que el valor del pago del seguro también sea una variable aleatoria y puedan ocurrir varios eventos asegurados en el intervalo de tiempo considerado.

Los seguros médicos, los seguros de automóviles y otros seguros de propiedad y los seguros de responsabilidad civil proporcionan inmediatamente muchos ejemplos. Fórmula generalizadora (2.5), ponemos

donde es una variable aleatoria que describe los pagos del seguro en el intervalo de tiempo considerado, r.v. denota el monto total de pagos en este intervalo y r.v. es un indicador del evento de que ha ocurrido al menos un evento asegurado.

Siendo un indicador de tal evento, r.v. registra la presencia () o falta () eventos asegurados en este intervalo de tiempo, pero no el número de eventos asegurados en él.

La probabilidad seguirá denotándose por .

Analicemos varios ejemplos y determinemos la distribución de variables aleatorias en un modelo determinado.

Consideremos primero un seguro de deceso por un período de un año con un beneficio adicional si el fallecimiento se produce como consecuencia de un accidente.

Para estar seguros, supongamos que si la muerte ocurrió como resultado de un accidente, el monto del pago será de 50.000. Si la muerte ocurre por otras causas, el monto del pago será de 25.000.

Supongamos que para una persona de una determinada edad, estado de salud y profesión, la probabilidad de muerte como resultado de un accidente durante el año es 0,0005 y la probabilidad de muerte por otras causas es 0,0020. En forma de fórmula se ve así:

Sumando todos los valores posibles obtenemos

,

Distribución condicional c. v. siempre que tenga la forma

Consideremos ahora el seguro de colisión (indemnización pagada al propietario del vehículo por los daños sufridos) con un deducible incondicional de 250 y un pago máximo de 2.000.

Para mayor claridad, supongamos que la probabilidad de que ocurra un evento asegurado durante el período de tiempo considerado para un individuo es 0,15 y la probabilidad de que ocurra más de una colisión es cero:

, .

La suposición poco realista de que no puede ocurrir más de un evento asegurado durante un período se hace para simplificar la distribución de los R.V. .

Abandonamos este supuesto en la siguiente sección después de observar la distribución de múltiples reclamaciones.

Dado que este es el importe de los pagos de la aseguradora, y no los daños causados ​​al coche, podemos considerar dos características, y .

En primer lugar, el evento incluye aquellas colisiones en las que el daño es menor que el deducible incondicional, que es 250.

En segundo lugar, la distribución de r.v. tendrá un "grupo" de masa probabilística en el punto del monto máximo de pagos del seguro, que es igual a 2000.

Supongamos que la masa de probabilidad concentrada en este punto es 0,1. Supongamos además que el valor de los pagos de seguros en el rango de 0 a 2000 puede modelarse mediante una distribución continua con una función de densidad proporcional a (En la práctica, la curva continua que se elige para representar la distribución de los beneficios del seguro es el resultado de estudios de los niveles de beneficios en el período anterior.)

Resumiendo estos supuestos sobre la distribución condicional de r.v. Siempre que lleguemos a una distribución de tipo mixto, que tiene una densidad positiva en el rango de 0 a 2000 y algún "grupo" de masa probabilística en el punto 2000. Esto se ilustra en el gráfico de la Fig. 2.2.1.

La función de distribución de esta distribución condicional se ve así:

Fig.2.1. Función de distribución r.v. En condición I = 1

Calculemos la expectativa matemática y la varianza en el ejemplo considerado con seguro de auto dos caminos.

Primero, escribimos la distribución de r.v. y usarlo para calcular y . Denotando por la función de distribución r.v. , tenemos

Para X<0

Esta es una distribución mixta. Como se muestra en la Fig. 2.2, tiene una parte discreta (“grupo” de masa probabilística en el punto 2000) y una parte continua. Esta función de distribución corresponde a una combinación de la función de probabilidad

Arroz. 2.2. Función de distribución r.v. X = BI

y funciones de densidad

En particular, y . Es por eso .

Existen varias fórmulas que conectan los momentos de variables aleatorias con expectativas matemáticas condicionales. Para la expectativa matemática y para la varianza, estas fórmulas tienen la forma

(2.10)

(2.11)

Se entiende que las expresiones en los lados izquierdos de estas igualdades se calculan directamente a partir de la distribución r.v. . Al calcular expresiones en los lados derechos, a saber y , se utiliza la distribución condicional de r.v. a un valor fijo de r.v. .

Estas expresiones son, por tanto, funciones de r.v. , y podemos calcular sus momentos usando la distribución r.v. .

Las distribuciones condicionales se utilizan en muchos modelos actuariales y esto permite aplicar directamente las fórmulas anteriores. En nuestro modelo. Teniendo en cuenta r.v. en calidad y r.v. como, obtenemos

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

y considere las expectativas matemáticas condicionales

(2.16)

(2.17)

Las fórmulas (2.16) y (2.17) se definen como una función de r.v. , que se puede escribir como la siguiente fórmula:

Desde entonces (2.21)

Porque tenemos y (2.22)

Las fórmulas (2.21) y (2.22) se pueden combinar: (2.23)

Así, (2.24)

Sustituyendo (2.21), (2.20) y (2.24) en (2.12) y (2.13), obtenemos

Apliquemos las fórmulas de cálculo obtenidas en el ejemplo del seguro de automóvil (Fig. 2.2). Dado que la función de densidad r.v. La condición dada se expresa mediante la fórmula.

y P(B=2000|I=1)= 0.1, tenemos

Finalmente, creyendo q= 0,15, de las fórmulas (2.25) y (2.26) obtenemos las siguientes igualdades:

Para describir una situación de seguro diferente, podemos proponer otros modelos para vehículos recreativos. .

Ejemplo: Modelo para el número de muertes por accidentes de aviación

Como ejemplo, consideremos un modelo para el número de muertes resultantes de accidentes de aviación durante un período de un año de operación de una aerolínea.

Podemos comenzar con una variable aleatoria que describa el número de muertes en un vuelo y luego sumar dichas variables aleatorias en todos los vuelos del año.

Para un vuelo, el evento indicará la ocurrencia de un accidente aéreo. El número de muertes que supuso este desastre estará representado por el producto de dos variables aleatorias y , donde es el factor de carga de la aeronave, es decir, el número de personas a bordo en el momento del accidente, y es la proporción de muertes entre aquellas a bordo.

El número de muertes se presenta de esta manera, ya que las estadísticas separadas para cantidades son más accesibles que las estadísticas para r.v. . Así pues, aunque es probable que la proporción de víctimas mortales entre las personas a bordo y el número de personas a bordo estén relacionados, como primera aproximación se puede suponer que el r.v. e independiente.

Sumas de variables aleatorias independientes

En el modelo de riesgo individual, los pagos de seguros realizados por una compañía de seguros se representan como la suma de los pagos a muchos individuos.

Recordemos dos métodos para determinar la distribución de una suma de variables aleatorias independientes. Consideremos primero la suma de dos variables aleatorias, cuyo espacio muestral se muestra en la figura. 3.1.

Arroz. 2.3.1. Evento

La línea recta y el área debajo de la línea recta representan un evento. Por lo tanto, la función de distribución r.v. S tiene la forma (3.1)

Para dos variables aleatorias discretas no negativas, podemos usar la fórmula de probabilidad total y escribir (3.1) en la forma

Si X Y Y independiente, la última suma se puede reescribir como

(3.3)

La función de probabilidad correspondiente a esta función de distribución se puede encontrar usando la fórmula

(3.4)

Para variables aleatorias continuas no negativas, las fórmulas correspondientes a las fórmulas (3.2), (3.3) y (3.4) tienen la forma

Cuando una o ambas variables aleatorias X Y Y tienen una distribución mixta (que es típica de los modelos de riesgo individuales), las fórmulas son similares, pero más engorrosas. Para las variables aleatorias que también pueden tomar valores negativos, las sumas e integrales de las fórmulas anteriores se toman sobre todos los valores de y desde hasta.

En teoría de la probabilidad, la operación de las fórmulas (3.3) y (3.6) se denomina convolución de dos funciones de distribución y y se denota por . La operación de convolución también se puede definir para un par de funciones de probabilidad o funciones de densidad usando las fórmulas (3.4) y (3.7).

Para determinar la distribución de la suma de más de dos variables aleatorias, podemos utilizar iteraciones del proceso de convolución. Para , donde son variables aleatorias independientes, denota la función de distribución del r.v., y es la función de distribución del r.v. , obtendremos

El ejemplo 3.1 ilustra este procedimiento para tres variables aleatorias discretas.

Ejemplo 3.1. Las variables aleatorias , y son independientes y tienen distribuciones determinadas por las columnas (1), (2) y (3) de la siguiente tabla.

Anotemos la función de probabilidad y la función de distribución r.v.

Solución. La tabla utiliza la notación introducida antes del ejemplo:

Las columnas (1) a (3) contienen información disponible.

La columna (4) se deriva de las columnas (1) y (2) utilizando (3.4).

La columna (5) se deriva de las columnas (3) y (4) utilizando (3.4).

La definición de la columna (5) completa la determinación de la función de probabilidad para r.v. . Su función de distribución en la columna (8) es el conjunto de sumas parciales de la columna (5), comenzando desde arriba.

Para mayor claridad, hemos incluido la columna (6), la función de distribución para la columna (1), la columna (7), que se puede obtener directamente de las columnas (1) y (6) usando (2.3.3), y la columna (8 ), definido de manera similar para las columnas (3) y (7). La columna (5) se puede determinar a partir de la columna (8) mediante resta secuencial.

Pasemos a considerar dos ejemplos con variables aleatorias continuas.

Ejemplo 3.2. Dejemos que r.v. tiene una distribución uniforme en el intervalo (0,2), y sea r.v. no depende de r.v. y tiene una distribución uniforme en el intervalo (0,3). Definamos la función de distribución r.v.

Solución. Dado que las distribuciones de r.v. y continuo, utilizamos la fórmula (3.6):

Entonces

Espacio muestral r.v. y se ilustra en la Fig. 3.2. El área rectangular contiene todos los valores posibles del par y. El evento que nos interesa, se representa en la figura con cinco valores. s.

Para cada valor la línea recta corta al eje Y en el punto s y una línea recta en el punto . Los valores de las funciones para estos cinco casos se describen mediante la siguiente fórmula:

Arroz. 3.2. Convolución de dos distribuciones uniformes.

Ejemplo 3.3. Consideremos tres r.v. independientes. . Para r.v. tiene una distribución exponencial y . Encontremos la función de densidad r.v. , utilizando la operación de convolución.

Solución. Tenemos

Usando la fórmula (3.7) tres veces, obtenemos

Otro método para determinar la distribución de una suma de variables aleatorias independientes se basa en la unicidad de la función generadora de momentos, que para r.v. está determinada por la relación .

Si esta expectativa matemática es finita para todos t desde algún intervalo abierto que contiene el origen, entonces es la única función generadora de los momentos de la distribución r.v. en el sentido de que no existe otra función que no sea , que sería la función generadora de los momentos de la distribución r.v. .

Esta unicidad se puede utilizar de la siguiente manera: para la suma

Si es independiente, entonces la esperanza matemática del producto en la fórmula (3.8) es igual a ..., Entonces

Encontrar una expresión explícita para la única distribución que corresponde a la función generadora de momento (3.9) completaría el hallazgo de la distribución r.v. . Si no es posible indicarlo explícitamente, entonces puedes buscarlo mediante métodos numéricos.

Ejemplo 3.4. Consideremos las variables aleatorias del ejemplo 3.3. Definamos la función de densidad r.v. , utilizando la función generadora de momentos r.v. .

Solución. Según la igualdad (3.9), que se puede escribir en la forma utilizando el método de descomposición en fracciones simples. La solucion es . Pero es la función generadora de los momentos de la distribución exponencial con el parámetro, por lo que la función de densidad del r.v. parece

Ejemplo 3.5. Al estudiar procesos aleatorios, se introdujo una distribución gaussiana inversa. Se utiliza como distribución r.v. EN, el monto de los pagos del seguro. La función de densidad y la función generadora de los momentos de la distribución gaussiana inversa vienen dadas por las fórmulas

Encontremos la distribución de r.v. , donde r.v. son independientes y tienen las mismas distribuciones gaussianas inversas.

Solución. Usando la fórmula (3.9), obtenemos la siguiente expresión para la función generadora de los momentos del r.v. :

La función generadora de momentos corresponde a una distribución única, y podemos comprobar que tiene una distribución gaussiana inversa con parámetros y .

Aproximaciones para la distribución de la suma

El teorema del límite central proporciona un método para encontrar valores numéricos para la distribución de una suma de variables aleatorias independientes. Normalmente, este teorema se formula para una suma de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, donde .

Para cualquier n, la distribución r.v. donde = , tiene una expectativa matemática de 0 y una varianza de 1. Como se sabe, la secuencia de tales distribuciones (por ejemplo norte= 1, 2, ...) tiende a la distribución normal estándar. Cuando norte Este teorema se aplica en gran medida para aproximar la distribución de r.v. distribución normal con media μ y dispersión. Del mismo modo, la distribución del importe norte Las variables aleatorias se aproximan mediante una distribución normal con media y varianza.

La eficacia de tal aproximación depende no sólo del número de términos, sino también de la proximidad de la distribución de términos a la normal. Muchos cursos de estadística elemental afirman que n debe ser al menos 30 para que la aproximación sea razonable.

Sin embargo, uno de los programas para generar variables aleatorias distribuidas normalmente utilizados en el modelado de simulación implementa una variable aleatoria normal como el promedio de 12 variables aleatorias independientes distribuidas uniformemente en el intervalo (0,1).

En muchos modelos de riesgo individuales, las variables aleatorias incluidas en los importes no están distribuidas equitativamente. Esto se ilustrará con ejemplos en la siguiente sección.

El teorema del límite central también se aplica a secuencias de variables aleatorias distribuidas desigualmente.

Para ilustrar algunas aplicaciones del modelo de riesgo individual, utilizamos la aproximación normal de la distribución de la suma de variables aleatorias independientes para obtener soluciones numéricas. Si , Eso

y además, si r.v. son independientes, entonces

Para la aplicación en cuestión sólo necesitamos:

• encontrar las medias y varianzas de variables aleatorias que modelan pérdidas individuales,
• resumirlos para obtener el promedio y la varianza de las pérdidas de la compañía de seguros en su conjunto,
• Utilice la aproximación normal.

A continuación ilustramos esta secuencia de acciones.

Aplicaciones al seguro

Esta sección ilustra el uso de la aproximación normal con cuatro ejemplos.

Ejemplo 5.1. Una compañía de seguros de vida ofrece una póliza de seguro de muerte de un año con pagos de 1 y 2 unidades a personas con una probabilidad de muerte de 0,02 o 0,01. La siguiente tabla muestra el número de personas nk en cada una de las cuatro clases formadas de acuerdo con el pago bk y la probabilidad de que ocurra un evento asegurado qk:

k	q k	bk	nk
1	0,02	1	500
2	0,02	2	500
3	0,10	1	300
4	0,10	2	500

La compañía de seguros quiere cobrar de este grupo de 1.800 personas una cantidad igual al percentil 95 de la distribución de los beneficios totales del seguro para este grupo. Además, quiere que la parte de esta cantidad que corresponde a cada persona sea proporcional al beneficio de seguro esperado de la persona.

La proporción de la persona con número cuyo pago promedio es igual a debería ser . Del requisito del percentil 95 se deduce que. El monto del exceso, , es una prima de riesgo y se denomina prima de riesgo relativo. Hagamos los cálculos.

Solución. El valor está determinado por la relación. = 0,95, donde S = X 1 + X 2 + ... + X 1800. Esta declaración de probabilidad es equivalente a lo siguiente:

De acuerdo con lo dicho sobre el teorema del límite central en la Sec. 4, aproximamos la distribución de r.v. distribución normal estándar y utilizamos su percentil 95, de donde obtenemos:

Para las cuatro clases en que se dividen los asegurados obtenemos los siguientes resultados:

k	q k	bk	Promedio b k q k	Varianza b 2 k q k (1-q k)	nk
1	0,02	1	0,02	0,0196	500
2	0,02	2	0,04	0,0784	500
3	0,10	1	0,10	0,0900	300
4	0,10	2	0,20	0,3600	500

De este modo,

Por tanto, la prima de riesgo relativa es

Ejemplo 5.2. Los clientes de una compañía de seguros de automóviles se dividen en dos clases:

Clase	numero en clase	Probabilidad de ocurrencia evento asegurado	Distribución de pagos de seguros, parámetros exponenciales truncados distribución
k				l
1	500	0,10	1	2,5
2	2000	0,05	2	5,0

La distribución exponencial truncada está definida por la función de distribución.

Esta es una distribución de tipo mixto con una función de densidad. , y un "grupo" de masa probabilística en el punto l. La gráfica de esta función de distribución se muestra en la Fig. 5.1.

Arroz. 5.1. Distribución exponencial truncada

Como antes, la probabilidad de que el monto total de los pagos del seguro exceda el monto cobrado a los asegurados debería ser igual a 0,05. Supondremos que la prima de riesgo relativa debería ser la misma en cada una de las dos clases consideradas. Calculemos.

Solución. Este ejemplo es muy similar al anterior. La única diferencia es que los montos de los pagos del seguro ahora son variables aleatorias.

Primero obtenemos expresiones para los momentos de la distribución exponencial truncada. Este será un paso preparatorio para aplicar las fórmulas (2.25) y (2.26):

Utilizando los valores de los parámetros dados en la condición y aplicando las fórmulas (2.25) y (2.26), obtenemos los siguientes resultados:

k	q k	μ k	σ 2 k	Promedio q k μ k	Varianza μ 2 k q k (1-q k)+σ 2 k q k	nk
1	0,10	0,9139	0,5828	0,09179	0,13411	500
2	0,05	0,5000	0,2498	0,02500	0,02436	2000

Entonces, S, el monto total de los pagos del seguro, tiene momentos

La condición para la definición sigue siendo la misma que en el ejemplo 5.1, es decir,

Usando nuevamente la aproximación de la distribución normal, obtenemos

Ejemplo 5.3. La cartera de la aseguradora incluye 16.000 contratos de seguro de decesos por un periodo de un año según la siguiente tabla:

La probabilidad de que ocurra un evento asegurado q para cada uno de 16.000 clientes (se supone que estos eventos son mutuamente independientes) es 0,02. La empresa quiere establecer su propia tasa de retención. Para cada asegurado, el nivel de retención propia es el valor por debajo del cual esta empresa (empresa cedente) realiza pagos de forma independiente, y los pagos que superan este valor están cubiertos por un contrato de reaseguro con otra empresa (reaseguradora).

Por ejemplo, si el nivel del deducible es 200.000, entonces la compañía reserva una cobertura de hasta 20.000 para cada asegurado y compra reaseguro para cubrir la diferencia entre el reclamo del seguro y el monto de 20.000 para cada uno de los 4.500 asegurados cuyos beneficios de seguro exceden el monto de 20.000.

Como criterio de decisión, la empresa opta por minimizar la probabilidad de que las reclamaciones de seguro retenidas más el monto pagado por el reaseguro superen la cantidad de 8.250.000. Los costos del reaseguro son 0,025 por unidad de cobertura (es decir, el 125% del monto esperado de pagos de seguro por unidad). 0,02).

Creemos que la cartera considerada está cerrada: los nuevos contratos de seguro celebrados durante el año en curso no se tendrán en cuenta en el proceso de toma de decisiones descrito.

Solución parcial. Primero realicemos todos los cálculos, eligiendo 10.000 como unidad de pago. A modo de ilustración, supongamos que c. v. S es el monto de los pagos que quedan en la propia deducción, tiene la siguiente forma:

A estos pagos de seguro que se dejan en propia deducción, S, se suma el importe de las primas de reaseguro. En total, el monto total de cobertura bajo este esquema es

El importe restante de la propia deducción es igual a

Así, el valor total reasegurado es 35.000-24.000=11.000 y el coste del reaseguro es

Esto significa que con el nivel de retención propia igual a 2, los pagos del seguro que quedan sobre la retención propia más el costo del reaseguro ascienden a . El criterio de decisión se basa en la probabilidad de que este total supere 825,

Usando la distribución normal, encontramos que este valor es aproximadamente 0,0062.

Los valores medios de los pagos de seguro para el seguro de pérdidas excesivas, como uno de los tipos de reaseguro, se pueden aproximar utilizando la distribución normal como distribución de los pagos totales del seguro.

Deje que los pagos totales del seguro X tengan una distribución normal con media y varianza

Ejemplo 5.4. Consideremos una cartera de seguros, como en el ejemplo 5.3. Encontremos la expectativa matemática del monto de los pagos del seguro bajo un contrato de seguro por exceso de pérdida si

(a) no existe reaseguro individual y la franquicia incondicional se fija en 7.500.000

b) El deducible propio se establece en la cantidad de 20.000 para los contratos de seguros individuales y el monto del deducible incondicional para la cartera es de 5.300.000.

Solución.

a) A falta de reaseguro individual y la transición a 10.000 como unidad monetaria

La aplicación de la fórmula (5.2) da

lo que asciende a 43.770 en unidades originales.

(b) En el ejemplo 5.3, obtuvimos que la media y la varianza de las primas totales a un nivel de deducible individual de 20 000 fueron 480 y 784, respectivamente, utilizando 10 000 como unidad. Por lo tanto =28.

La aplicación de la fórmula (5.2) da

lo que asciende a 4140 en unidades originales.